ciąg ograniczony xxe: Witam, Prosze o pomoc w zadaniu Mam odpowiedziec, czy ciag jest ograniczony (z góry/z dołu) a_n = 1/(4+1) + 1(4² +2) + 1/(4³ +3) + ...+ 1/(4ⁿ +n) Ciąg jest ograniczony z dołu przez 1/5, ponieważ a₁=1/5 natomiast co z ograniczeniem tego ciągu z góry? W odpowiedziach jest podana 1/5, ale nie mam pojęcia skąd sie to bierze.

jc: a_n < 1/4 + 1/4² + ... + 1/4ⁿ < 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ... = 1/3

xxe: czy to jest z twierdzenia o trzech ciągach? czy mógłbyś to bardziej rozwinąć? nadal nie rozumiem

PW: Nie, twierdzenie o trzech ciągach służy do wyznaczania graniecy (ciąg o wyrazach większych od wyrazów jednego i i mniejszych od wyrazów drugiego ma tę samą granicę co tamte dwa 9jeśli mają rzeczywiście jednakowe granice). Tu mamy do czynienia ze sztuką szacowania − chcemy wyrazy a_n oszacować przez jakąś liczbę. Zauważamy, że a_n jest sumą dodatnich składników, z których każdy ma w mianowniku dwa składniki dodatnie. Pominięcie jednego z tych składników oznacza, że ułamek staje się większy. Dlatego

	1		1		1
an <		+		+ ... +
	4		42		4n

Suma po prawej stronie jest sumą częściową ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich, więc a_n

	1
jest mniejszy od całej sumy tego szerregu, która jak wiadomo ze szkoły jest równa		.
	3

Przy tablicy tłumaczy się to dość skutecznie stukając tu i ówdzie kredą. Zapisanie słowami tego rozumowania jest trochę trudniejsze, musisz przyznać.

xxe: teraz rozumiem! dziękuję bardzo