Rownania funkcyjne Krzysiek60: Zadania w ktorych nalezy znalezc niewiadona funkcje na podstawie zadanej tozsamosci ktora funkcja ta ma spelniac nazywaja sie rownaniami funkcyjnymi Zadanie Wiadomo ze funkcja f: <0,∞)→<0,∞) spelnia rownanie funkcyjne : f(x+y)= f(x)+f(y) a) Wyznacz f(0) b) Wykaz ze dla n∊NU{0} i x∊<0,∞) prawdziwa jest rownosc f(n*x)= nf(x)

	p		p
c) Wykaz ze dla p i q ∊N i x∊<0,∞) prawdziwa jest rownosc f(		*x)=		* f(x)
	q		q

Jedyne co odczytalem to ze funkcja f odwzorowuje przedzial <0,∞) na przedzial <0,∞) mam jeszcze z tego 6 zadan.

Omikron: a) Weźmy x = 0 Z założenia wiemy, że f(x+y) = f(x) + f(y), czyli w tym przypadku f(0+y) = f(0) + f(y) Przekształcając dalej f(y) =f(0) + f(y) f(0) = 0

Krzysiek60: czesc To np znaczy ze jesli bysmy mieli do policzenia f(2) to wtedy f(2+y)= f(2)+f(y) f(2)= f(2+y)−f(y) ?

Omikron: Tak możemy podstawić, ale wtedy już by się ładnie nie skróciło.

Omikron: b) Może być indukcja? Przeprowadzę dowód indukcyjny. Udowodnię, że ∀n∊N prawdziwa jest równość f(n*x) = nf(x). 1. Sprawdzę czy f(n*x) = nf(x) jest spełnione dla n = 0. f(0*x)=f(0) = 0 = 0 * f(x). Jest więc prawdziwe. 2. Ustalmy pewne n∊N. Załóżmy, że f(n*x) = nf(x) jest prawdziwe. Udowodnię, że prawdziwe jest f((n+1)*x) = (n+1) * f(x). Przekształcę równoważnie lewą stronę równości. f( (n+1)*x ) = f(nx + x) Korzystając z podanego równania funkcyjnego, które spełnia f(x) przekształcę dalej. f( nx + x) = f(nx) + f(x) Korzystam z założenia indukcyjnego. f(nx) + f(x) = nf(x) + f(x) = (n+1) * f(x) − równość jest więc prawdziwa. Z zasady indukcji matematycznej udowodniłem, że ∀n∊N prawdziwa jest równość f(n*x) = nf(x).

Krzysiek60: Moze byc indukcja

Krzysiek60: W podpunkcie c) nie powiniem zmieniac powinno byc (zmienilem zeby n z m sie nie mylilo

	n		n
dla n, m ∊N i x∊<0,∞) prawdziwa jest rownosc f(		*x)=		*f(x)
	m		m

mam taka wskazowke do c) Niech m,n ∊N wtedy z udowdnionej z podpunktu b) mamy n*f(x)= f(nx)= f(m*U{n}{m)*x) −

	n
dlaczego tutaj jest m*		?=
	m

	n		n		n
dalej m*f(		*x) stad f(		*x)=		*f(x) dlaczego to m teraz zniknelo ?
	m		m		m

Omikron: c) To teraz bez indukcji zrobię i b) można podobnie.

	p		p
Udowodnię, że ∀p,q∊N prawdziwa jest równość f(		*x) =		* f(x).
	q		q

Przekształcę lewą stronę równoważnie, korzystając z równania funkcyjnego, które spełnia ta funkcja.

	p		p−1		1		p−1		1
f(		*x) = f(		*x +		* x) = f(		* x) + f(		* x) =
	q		q		q		q		q

	p−2		1		1		p−p		1
= f(		*x +		* x) + f(		* x) = ... = f(		* x) + f(		* x) +
	q		q		q		q		q

	1
... + f(		* x)
	q

	1		p−p
Tych funkcji f(		* x) jest p. f(		* x) = f(0) = 0 (wiemy z punktu a).
	q		q

	1
Zostaje nam więc p * f(		* x).
	q

	1
Wiemy, że f(x) = q * f(		* x) − udowodnione w b), możemy q włączyć jako argument.
	q

	1		1
W takim razie		* f(x) = f(		* x). − podzieliłem przez q stronami.
	q		q

Teraz mnożę przez p.

p		1		1		p
	* f(x) = p* f(		* x) − udowodniliśmy już, że p* f(		* x) = f(		* x)
q		q		q		q

więc mamy udowodnioną tezę. Mam wrażenie, że to mocno skomplikowałem, ale dotarłem do tezy.

Krzysiek60: dzieki za poswiecony czas

Omikron: To rozwiązanie z podpowiedzi dużo krótsze. m zostało wprowadzone po to, żeby móc je wyrzucić przed funkcję. Tam jest kilka znaków równości i przekształcenia w nich, ale przyrównajmy początkowe do końcowego.

	n
n * f(x) = m * f(		* x)
	m

I tutaj po prostu dzielimy stronami przez m, wychodzi teza.

jc: (c) Krócej.

	p		p
q f(		x) = f( q		x) = f(px) = p f(x)
	q		q

	p		p
f(		x) =		f(x)
	q		q

jc: Tu mamy coś ciekawszego. f jest funkcją monotoniczną. Jeśli 0 ≤ x ≤ y, to f(y) = f(x + (y−x) ) = f(x) + f(y−x) ≥ f(x). Tu korzystamy z tego, że f(x) ≥ 0. Weźmy x>0. Wtedy dla dowolnych dodatnich ułamków r, s takich, że r < x < s mamy f(r) ≤ f(x) ≤ f(s). Ale wiemy, że f(r)=r f(1) i f(s)=s f(1) czyli f(1) s ≤ f(x) ≤ f(1) t. Jeśli f(1)= 0, to f(x)=0. Jeśli natomiast f(1) > 0, to r ≤ f(x)/f(1) ≤ s. Wniosek: f(x)=x f(x). Gdyby nie było założeń, że o dziedzinie i przeciwdziedzinie, nic podobnego byśmy nie uzyskali.

Krzysiek60: Zaraz to sobie przedstudiuje .dzieki .,dzieki .

jc: Oczywiście, f(x)= x f(1). Nie wiem, czy w tym nie ma błędu.