Ciągi Janek: Rozwiąż nierówność 1+log₂(sin2x)+log₂²(sin2x)+...< 0,(6) w zbiorze <0;2π>, gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geomrtrycznym zbieżnym. Znam założenia: q=log₂(sin2x), |q|<1 i korzystamy ze wzoru na sumę, problem w tym, że nie wychodzą mi obliczenia. Z góry dziękuję

xyza: jakie obliczenia Ci nie wychodza? dziedzinowe czy ta suma? przede wszystkim sin(2x) > 0 t = 2x , sint > 0 −−> t ∊ (0 + 2kπ, π+2kπ) −−> 2x ∊ (0 + 2kπ, π+2kπ) −−−> x ∊ (0 + kπ,

	π
		+kπ)
	2

	π		3
skoro rozpatrujemy zbior <0;2π> to mamy x ∊ (0;		) U (π;		π)
	2		2

|q| < 1 −−−> −1 < log₂(sin2x) < 1 <−− to rozwiazales?

	1
S =
	1−log2(sin2x)

	2
0,(6) =		, zatem
	3

1		2
	<
1−log2(sin2x)		3

Blee: po pierwsze: sin(2x) > 0 −> 2x ∊ (0;π) u (2π; 3π) −> x ∊ (0 ; π/2) u (π; 3π/2)

	a1		1
S =		=
	1−q		1 − log2(sin(2x))

1		2
	<
1 − log2(sin(2x))		3

3 < 2 − 2log₂(sin(2x)) 1/2 < −log₂(sin(2x)) −1/2 > log₂(sin(2x)) 2^−1/2 > sin(2x)

√2
	> sin(2x)
2

dokończ samemu PS. wiesz dlaczego można przemnożyć obustronnie przez: 1 − log₂(sin(2x))

Janek: Dlatego, że log₂(sin2x) ma być ułamkiem, więc ta różnica będzie na pewno dodatnia? Właśnie rozwiązuję, zaraz odezwę się czy wszystko wyszło i czy rozumiem

Blee: wiemy więcej −−−> log₂(sin(2x)) ≤ 0 (bo sin(2x) ≤ 1)

Janek: Wciąż wychodzą mi inne wyniki. Miałby ktoś czas, żeby to policzyć?

Blee: to pokaż jak liczysz

Janek: W założeniu z |q|<1 wychodzi mi przedział (π/8, 3π/8) i (9π/8, 11π/8)

Janek: Nie, jednak nie. Pomyliłem. To jest wynik dla sin(2x) < √2/2 : od 0 do π/8, od 3π/8 do 9π/8 i od 11π/8 do 2π

Janek: