Nierownosc dowod Krzysiek60: Dla dowolnych dodatnich liczb a,b,c,d zachodzi

a+b+c+d
	≥4√a*b*c*d
4

Adamm:

	a+b+c+d		1
ln(		) ≥		(lna+lnb+lnc+lnd)
	4		4

bo f(x)=ln(x), x>0 jest funkcją wklęsłą skąd wynika twierdzenie

Eta: Z nierówności między średnimi am−gm co kończy dowód

Krzysiek60: Adamm dzieki Ale to rozwiazanie dla studentow matematyki . Niestety nie dla mnie

Adamm: To tak jakby powiedzieć Tak jest, bo tak jest

Krzysiek60: Wstawiam te zadania bo moze oprocz mnie skorzystaja tez maturzysci Wiec prosze miec to tez na wzgledzie.

jc: a,b,c,d ≥ 0 To już znasz (widziałem poprzedni wpis).

a+b
	≥ √ab
2

c+d
	≥ √cd
2

Dodajesz stronami i dzielisz przez 2, a potem jeszcze raz stosujesz znaną Ci nierówność.

a+b+c+d		√ab + √cd
	≥		≥ √√ab √cd = 4√abcd
4		2

Adamm: Niech będzie

a+b+c+d		a+b   c+d   + 2   2
	=		≥√((a+b)/2)((c+d)/2)≥
4		2

≥√(ab)^1/2(cd)^1/2=(abcd)^1/4 skorzystałem jedynie z tego że

a+b
	≥√ab dla dowolnych a, b>0
2

Adamm: Jest bardzo ładny dowód ogólnej nierówności

	a1+...+an
T(n): ∀a1, ..., an≥0		≥n√a1...an
	n

Wykazujemy T(2) potem że ∀_k∊N+ T(2^k) ⇒ T(2^k+1) stąd przez indukcję, T(2^k) dla k=1, 2, ... Potem dowodzimy że ∀_k≥3 T(k) ⇒ T(k−1) to kończy dowód w ogólnym przypadku

Adamm: Jest on bardzo ładny, bo dowodzimy nierówności dla dużych n, a potem idziemy z indukcją "wstecz"

Krzysiek60: Witaj jc To po kolei

a+b
	≥√ab
2

c+d
	≥√cd Tak jak napisales ta nierownosc miedzy sednia am−gm znam
2

Dodaje stronami

a+b		c+d
	+		≥√a*b+√c*d
2		2

a+b+c+d
	≥√a*b+√c*d Teraz mam obie strony podzielic przez 2 (wytlumacz dlaczego ?
2

	1
wiec dostaje po wymnozeniu przez
	2

1		a+b+c+d		√a*b+√c*d
	*		≥
2		2		2

a+b+c+d		√a*b+√c*d
	≥
4		2

	√a*b+√c*d
Teraz dla		stosuje ponownie nierownosc pomiedzy srednia am−gm gdyz ten
	2

ostani zapis to sednia arytmetyczna dwoch liczb czyli

	a+b
√a*b+√c*d a wiem ze		≥√a*b
	2

	√a*b+√c*d
stad		≥√√a*b*√c*d≥√√a*b*c*d≥4√a*b*c*d co konczy dowod .Dobrze ?
	2

jc: Dobrze. Ostateczny wniosek wynika z przechodniości nierówności.

Krzysiek60: dziekuje Wiesz niektore rzeczy musze miec wytlumaczone dokladnie ,nawet bardzo dokladnie .