Całka Troko: Jak policzyć taką całkę? Powinien mi wyjść wynik a ona się zapętla. ∞ ∫ A*e^−αt*sinΩt dt 0

Troko: Pytanie czy w ogole da sie uzyskac wynik z tego?

piotr:

	a sin(b x) + b cos(b x)
∫ = −Ae−a x		+ C
	a2 + b2

	a sin(b x) + b cos(b x)		Ab
∫0∞ = limg→∞−Ae−a x		|0g =
	a2 + b2		a2+b2

piotr: b=Ω

piotr: a=α

Troko: A napisałbyś w jaki sposób to wyliczyć? Robiąc przez części zapętliło mi się, więc nie do końca wiem jak to się robiło.

Blee: po dwukrotnym zrobieniu przez części przerzucasz 'całkę' na drugą stronę (wygląda tak samo ale jest przemnożona przez stałą)

Troko: Masz może jakiś filmik albo artykuł o tym? Szczerze pamiętam ten sposób, ale za cholerę nie mogę sobie przypomnieć jak to się robiło.

piotr: https://www.youtube.com/watch?v=ASHjm2iqmQQ

piotr: https://math.stackexchange.com/questions/1502055/integration-of-eax-cos-bx-and-eax-sin-bx

Blee: aż dziwne, że nie miałeś takich całek wcześniej (na analizie)

jc: Wykorzystaj wzór e^{−(a−iΩ)t} = (cos Ωt + i sin Ωt)e^−t

	e−(a−iΩ)t		1
∫0∞ e−(a−iΩ)t dt = − [		]t=0t=∞ =
	a−iΩ		a−iΩ

Swoją całkę uzyskasz porównując części rzeczywiste.

	a
... =
	a2+Ω2

Porównując części urojone otrzymujemy całkę z sinusem

	Ω
Całka z sinusem =
	a2+Ω2

Prosto, prawie w pamięci.

jc: W pierwszej linii zamiast e^−t powinno stać e^−at. Reszta o.k..

jc: Oczywiście rachunek ma sens tylko dla a>0. Inaczej całka jest rozbieżna.

Troko: Hm, więc lekki problem pojawia się taki, że nie miałem całek z rozbiciem na części zespolone, a muszę jakoś to obliczyć. Chociaż nikt nie zakłada, że nie zrobię tego w ten sposób, pewnie wręcz przeciwnie. Tym bardziej poprosiłbym o jakieś źródło, bo chętnie bym zrozumiał te zagadnienie

Mariusz: ∫e^−atsin(bt)dt Jeśli nie chcesz aby ci się zapętliło liczysz w ten sposób I całkowanie przez części u = e^−at , dv = sin(bt)dt

	1
du=−ae−atdt , v = −		cos(bt)
	b

	1		a
∫e−atsin(bt)dt=−		e−atcos(bt)−		∫e−atcos(bt)dt
	b		b

II całkowanie przez części Tutaj całkujesz znowu ∫e^−atsin(bt)dt a nie tę co dostałeś po całkowaniu przez części ∫e^−atsin(bt)dt Teraz próbujesz innego doboru części ∫e^−atsin(bt)dt u=sin(bt) dv = e^−at dt

	1
du = bcos(bt)dt v = −		e−at
	a

	1		b
∫e−atsin(bt)dt=−		e−atsin(bt)+		∫e−atcos(bt)dt
	a		a

Otrzymujesz teraz układ równań

	1		a
∫e−atsin(bt)dt=−		e−atcos(bt)−		∫e−atcos(bt)dt
	b		b

	1		b
∫e−atsin(bt)dt=−		e−atsin(bt)+		∫e−atcos(bt)dt
	a		a

b2		b		b
	∫e−atsin(bt)dt=−		e−atcos(bt)−		∫e−atcos(bt)dt
a2		a2		a

	1		b
∫e−atsin(bt)dt=−		e−atsin(bt)+		∫e−atcos(bt)dt
	a		a

	b2		b		1
(1+		)∫e−atsin(bt)dt=(−		e−atcos(bt)−		e−atsin(bt))+C1
	a2		a2		a

a2+b2		b		1
	∫e−atsin(bt)dt=(−		e−atcos(bt)−		e−atsin(bt))+C1
a2		a2		a

	e−at
∫e−atsin(bt)dt=−		(bcos(bt)+asin(bt))+C
	a2+b2

Nie liczyłeś jeszcze przekształcenia Laplace ? Twoja całka się tam pojawi jako L{sin(Ωt)} tylko zwykle używa się literki s zamiast α

Mariusz: Troko miałeś całki stowarzyszone ? Obliczenia przedstawione we wpisie powyżej są oparte na tym pomyśle Sam wynik możesz wziąć z tablicy przekształceń Laplace

Mariusz: Tak ale jeśli używasz metody która nie była jeszcze wprowadzona albo jest inna od ulubionej metody prowadzącego (np dlatego że treść zadania zakładała użycie danej metody) to prawdopodobieństwo że nie zostanie ona uznana jest bliskie jedności

Troko: Wiesz, generalnie to nie jest matematyka. Problem w tym, że jest to teoria sygnału i mam do policzenia sygnał sinusoidalnie tłumiony, jest to więc poniekąd sinusoida malejąca w czasie, co dla mnie akurat jest pewną abstrakcją =). Nie miałem całki stowarzyszonej, miałem tylko podstawy matematyki potrzebne do zrozumienia zjawisk fizycznych. Więc tylko podstawowe całki. To wyprowadzenie z układem równań jest dosyć ciekawe, chociaż wygląda na coś w czym się bardzo łatwo pomylić .

jc: Nie miałeś? Masz okazję nauczyć się czegoś nowego. Liczby zespolone bardzo przydają się przy ruchu drgającym, więc w torii sygnałów pewnie też.

Troko: Robiąc do zapętlenia i przyrównując sobie wychodzi mi taki dość dziwny wynik: x − rozwiązanie całki

	e−αt(sinΩt+cosΩt)
x= −A*
	3