Wykaż, że UczącySię: Mam problem z wykazaniem, że: n

	2n +1 k
∑		= 4n

k = 0 Spróbowałem indukcyjnie i muszę udowodnić, że n+1

	2n +3 k
∑		= 4n * 4

k = 0 ale nie mam pojęcia jak to zrobić, nie umiem przekształcać symbolu Newtona z sumą Proszę o pomoc !

Adamm:

	2n+1 k		1		2n+1 k		1
∑0≤k≤n		=		∑0≤k≤2n+1		=		* 22n+1 = 4n
			2				2

UczącySię: Adamm, jako wskazówkę dostałem jedno z Twoich przekształceń. Jednakże, ja nie rozumiem skąd się to bierze. Mógłbyś mi to wytłumaczyć ?

UczącySię: Może inaczej, tą drugą sumę rozumiem, tylko czemu tam jest <= 2n +1 a nie samo 2n jeśli przed sumą dajesz 1/2 ?

jc: n=3

7 0		7 1		7 2		7 3		7 4		7 5		7 6		7 7
	+		+		+		+		+		+		+		=27

7 0		7 7		7 1		7 6		7 2		7 5		7 3		7 6
	=		,		=		,		=		,		=

Dlatego

7 0		7 1		7 2		7 3		7 4		7 5		7 6		7 7
	+		+		+		=		+		+		+		= 27/2 =26=43

UczącySię: jc, bardzo dziękuję, już lepiej to teraz widzę, ale wciąż zastanawia mnie przekształcenie Adamma, a w szczególności dlaczego mamy K <= 2n+1 a nie 2n jeżeli zwiększamy dwukrotnie ?

Adamm: na początku mamy n+1 elementów potem mamy 2n+2 elementów

UczącySię: Ahhh no przecież, jak ja mogłem być tak głupi ... Dziękuję bardzo za pomoc !

Pytający: Można by też tak rozpisać:

	2n+1 k
∑k=0n		=

	1		2n+1 k		2n+1 k
=		(∑k=0n		+∑k=0n		)=
	2

	1		2n+1 k		2n+1 2n+1−k
=		(∑k=0n		+∑k=0n		)= // (1)
	2

	1		2n+1 k		2n+1 k
=		(∑k=0n		+∑k=n+12n+1		)= // (2)
	2

	1		2n+1 k
=		(∑k=02n+1		)
	2

W (1) w drugiej sumie masz kolejno: (2n+1−k) = (2n+1), ..., (n+1) zaś w (2) w drugiej sumie masz kolejno: k = (n+1), ..., (2n+1) znaczy sumujesz to samo, ale w odwrotnej kolejności (poprzez zamianę indeksowania).

UczącySię: Same matematyczne przekształcenia rozumiem w (1) i (2). Za to dlaczego oba równają się linijce ostatniej już nie jest dla mnie zrozumiałe. Nie czuję chyba zasady działania takich sum

UczącySię: Chociaż z drugiej strony wszystko rozumiem. Tylko dalej wydaje mi się to dziwne, tzn. sam bym tego nie zrobił, ale patrząc na to rozwiązanie wszystko jest logiczne. Dziwna sprawa

UczącySię: A czy w (2) nie można było zapisać dwóch tych samych składników ? Dlaczego ten drugi ma k=n+1 ?

Pytający: Jak wyżej napisałem, sumowane jest to samo, tylko indeksowanie jest zmienione:

	2n+1 2n+1−k		2n+1 2n+1−0		2n+1 2n+1−n		2n+1 2n+1		2n+1 n+1
• ∑k=0n		=		+...+		=		+...+

	2n+1 k		2n+1 n+1		2n+1 2n+1
• ∑k=n+12n+1		=		+...+

Pytający: Indeksowanie możesz zmieniać do woli, bylebyś ciągle sumował to samo. Wciąż taka sama suma:

	2n+1 n+1+k		2n+1 n+1+0		2n+1 n+1+n		2n+1 n+1		2n+1 2n+1
• ∑k=0n		=		+...+		=		+...+

UczącySię: Pytający, dla mnie zmiana indeksowania jest strasznie niewyraźna ... Dostałem zadanie aby udowodnić to indukcyjnie ... i utknąłem Moja teza: n+1

	2n+3 k
LT =∑		= 4n * 4 = PT

k =0 Dowód:

	2n+2 k		2n+2 k−1
LT = ∑nk = 0 (		+		).

Pani Profesor podpowiedziała mi jak te składniki rozpisać, ale nie wiem np. czemu w Symbolu z 2n+2 robi się 2 * 2n+1, wg mnie zmienia się przecież samo k a nie ta górna część ...

	2n+2 k		2n+1 k		2n+1 k−1
1. ∑nk = 0		= ∑nk = 0 (		+		)

	2n+2 k−1		2n+1 k−1		2n+1 k−2
2. ∑nk = 0		= ∑nk = 0 (		+		)

Przepraszam, jeżeli dla was wydaje się to proste, ale ja po prostu tych zasad nie kumam i nie wiem jak do ruszyć dalej

UczącySię: Myślę, ale nic nie wychodzi

Krzysiek60: Jest tak dla symbolu Newtona

	n 0		n n
1)		=		=1

	n 1		n n−1
2)		=		=n

	n k		n n−k
3)		=

n+1 k+1		n k		n k+1
	=		+

Krzysiek60: Jeszce jest

n k		n k−1		n+1 k
	+		=		1≤k≤n o tym zapomnialem

UczącySię: Ta ostatnia zasada nieco mi wyjaśniła, inne znam. Ale jak ruszyć z tym równaniem

UczącySię: Wie ktoś jak się za to zabrać

: Wyżej źle rozpisałeś te sumy, bo k−1 może być wtedy ujemne. Znaczy powinno być przykładowo:

	2m+2 k		2m+1 k		2m+1 k−1
∑k=0m		=∑k=0m		+∑k=1m

Uzasadnię może na przykładzie: załóżmy, że wybieramy k elementów ze zbioru 5 elementowego. Oznaczmy 1 element tego zbioru jako "specjalny" (znaczy te 5 elementów rozdzielamy na 1 element "specjalny" i 4 pozostałe elementy)

	5 0
• k=0 elementów ze zbioru 5 elementowego mogę wybrać na		=1 sposobów, albo mogę nie

wybrać elementu "specjalnego" i dobrać pozostałe 0−0=0 elementów ze zbioru 4−elementowego na

	4 0		5 0		4 0
		=1 sposobów. Znaczy		=		.

	5 1
• k=1 elementów ze zbioru 5 elementowego mogę wybrać na		=5 sposobów, albo mogę wybrać

	4 1−1
element "specjalny" i dobrać pozostałe 1−1=0 ze zbioru 4−elementowego na		=1 sposobów

lub nie wybrać elementu "specjalnego" i wybrać wszystkie 1 elemetów ze zbioru 4 elementowego

	4 1		5 1		4 1		4 0
na		=4 sposoby. Znaczy		=		+		.

	5 2		4 2		4 1
• k=2, wtedy jak wyżej i		=		+

	5 3		4 3		4 2
• k=3, wtedy jak wyżej i		=		+

itd.

	2n+1 k
Dowód indukcyjny, że ∑k=0n		=4n dla n∊ℕ∪{0}:

	2n+1 k		2*0+1 0
• Baza indukcyjna: ∑k=00		=		=1=40.

	2m+1 k
• Założenie indukcyjne: ∑k=0m		=4m.

• Krok indukcyjny:

	2(m+1)+1 k
∑k=0m+1		=

	2m+3 k
=∑k=0m+1		=

	2m+2 k		2m+2 k−1
=∑k=0m+1		+∑k=1m+1		=

	2m+2 k		2m+2 k
=∑k=0m+1		+∑k=0m		=

	2m+1 k		2m+1 k−1
=∑k=0m+1		+∑k=1m+1		+

	2m+1 k		2m+1 k−1
+∑k=0m		+∑k=1m		=

	2m+1 k		2m+1 k
=∑k=0m+1		+∑k=0m		+

	2m+1 k		2m+1 k
+∑k=0m		+∑k=0m−1		=

	2m+1 k		2m+1 m+1		2m+1 k		2m+1 k
=∑k=0m(		)+		+2∑k=0m		+∑k=0m−1		=

	2m+1 k		2m+1 2m+1−(m+1)		2m+1 k
=3∑k=0m(		)+		+∑k=0m−1		=

	2m+1 k		2m+1 m		2m+1 k
=3∑k=0m(		)+		+∑k=0m−1		=

	2m+1 k
=4∑k=0m(		)=

=4*4^m= =4^m+1

Pytający: Tak jeszcze obrazowo do tego "wzoru" na rozbicie sumy:

	n k
∑k=0n		=

	n−1 k
=∑k=0n		+ // tu ów element "specjalny" nie jest wybrany, wybieramy k z pozostałych

n−1 elementów

	n−1 k−1
+∑k=1n		// tu ów element "specjalny" jest wybrany, więc k≥1 i wybieramy k−1 z

pozostałych n−1 elementów

UczącySię: Dowód rozumiem, bardzo dziękuję. Jednakże ten element specjalny i jego wyjaśnienie są dla mnie niejasne. Np. przy k = 0, 0 elementów mogę wybrać w jeden sposób, okej. Ale jeżeli dalej nie wybieramy el. specjalnego to dlaczego mamy dobierać "pozostałe" ze zbioru 4−ro elementowego jeżeli nie braliśmy specjalnego (więc tak jakby zostaje dalej zbiór 5−ciu elementów), co napisałeś przy rozdzielaniu. Jakbyś mógł mi jakoś to rozjaśnić. Pytający, czy ten element specjalny, który w ostatniej linijce jest wybrany, to ten element wcześniejszy Czy ja to źle rozumiem

Pytający: Po prostu dla n≥1 rozdzielasz n−elementowy zbiór A na dwa rozłączne zbiory: • zbiór 1−elementowy, oznaczmy S // to ten element "specjalny" wyżej • zbiór pozostałych (n−1) elementów, oznaczmy P Znaczy: A=S∪P, S∩P=∅ |A|=n≥1, |S|=1, |P|=n−1 I wtedy możesz wybrać k elementów (1≤k≤n) ze zbioru A na tyle sposobów:

	|A| k		n k
•		=		// tu rozpatrujesz cały zbiór A i wybierasz z niego k elementów

lub

	|S| 0	|P| k		|S| 1	|P| k−1		n−1 k		n−1 k−1
•			+			=		+		// znaczy: (nie wybierasz

elementu ze zbioru S (tego "specjalnego" wyżej), więc ze zbioru P pozostałych elementów dobierasz k elementów) lub (wybierasz element ze zbioru S (ten "specjalny" wyżej), więc ze zbioru P pozostałych elementów dobierasz (k−1) elementów) Ten opis ze "specjalnym" elementem chyba nie był zbyt jasny, może tu już jest przejrzyściej.

UczącySię: Tak, zdecydowanie jest lepiej Tylko teraz pytanie, do czego służy ten element specjalny Czy miał on tylko zobrazować mi wybieranie elementów w taki sposób, że pokazać jak zmienia się "k" ?

Pytający: To uzasadnienie wzoru:

n k		n−1 k		n−1 k−1
	=		+		dla 1≤k≤n

UczącySię: Dobra, to już wszystko jasne raczej. Dzięki ^^