dowod Fajter: Dla a≠0 i b≠0

a2−ab+b2		1
	≥
a2+ab+b2		3

3(a²−ab+b²)≥a²+ab+b² 3a²−3ab+3b²−a²−ab−b²≥0 2a²−4ab+2b²≥0 2(a²−2ab+b²)≥0 2(a−b)²≥0 W wyniku rownowaznych przeksztalcen doszslem do nierownosci prawdziwej a to oznacza ze nierownosc wyjsciowa jest prawdziwa

Eta: ok

Fajter: Znalazlem tez takie rozwiazanie

	b		3
a2+ab+b2= (a+		)2+		b2 >0 bo b≠0 to przeksztalcenie rozumiem
	2		4

mnozac obie strony nierownosci przez 3(a²+ab+b²) otrzymujemy nierownosc (a−b)²≥0 Moze ktos to rozwiazanie rozpisac bo nie rozumiem go .

Fajter: dziekuje Eta .

jc: A teraz zacznij od (a−b)² ≥ 0 i zakończ na tezie.

	a2 + (a+b)2 + b2
Przy okazji. a2+ab+b2 =
	2

PW: Można się ratować funkcją kwadratową sprowadzając nierówność do jednej zmiennej. Dla a=0 nierówność jest oczywista. Dla a≠0 podstawiamy b=ka

a2−ka2+k2a2		1−k+k2		1
	=		≥		⇔ 3{1−k+k2} ≥ {1+k+k2}
a2+ka2+k2a2		1+k+k2		3

(można było pomnożyć przez k²+k+1 >0 nie zmieniając nierówności, wyróżnik Δ jest ujemny). Dalej 2k²−4k+2 ≥ 0 2(k−1)² ≥ 0 − nierówność jest spełniona dla wszystkich k. Wniosek: Badana nierówność jest prawdziwa dla wszystkich a i b. Uwaga: W dowodzie Fajtera w pierwszym wpisie brakło stwierdzenia, że a²+ab+b²>0 (tylko mając taką pewność można mnożyć nierówność stronami przez mianownik). To miejsce dowodu może być więc kwestionowane jako błąd logiczny (mnożymy przez liczbę, której znaku nie znamy). Dlaczego a²+ab+b² > 0 gdy jedna z liczb a, b jest różna od zera, pokazał jc i trudno to uznać za oczywiste, niewymagające dowodu.