Czy funkcja jest bijekcją. karol723: Czy podana funkcja jest bijekcją? f(x)=^2x+1_2−x Definicje iniekcji i suriekcji znam. D=R/2 ZW=R/−2 Nie wiem jak udowodnić czy jest iniekcją i suriekcją

PW: Tak naprawdę jet to pytanie o własności funkcji homograficznej znanej z liceum: − przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru R\{−2} i est różnowartościowa. Czy trzeba je teraz na poziomie studiów jeszcze raz udowodnić? Jeśli tak, to nic trudnego.

karol723: Iniekcję można udowodnić, korzystając z tego że jest różnowartościowa, czyli podstawić x₁ i x₂ i otrzymamy x₁=x₂(tak w skrócie)? Jak poradzić sobie z dowodem, że jest suriekcją?

PW: Przepraszam, a skąd wiesz, że Z_f=R\{−2}?

PW: Przez Z_f oznaczyłem to co u Ciebie jest zapisane jako ZW, przepraszam.

karol723: Podzieliłem wspólczynnik przy x w liczniku przez wspolczynnik przy x w mianowniku

PW: Tak łatwo się nie dowodziło. Szukamy wszystkich liczb w, dla których istnieją x w dziedzinie takie, że f(x) = w. Niech w będzie liczbą rzeczywistą

	2x+1
		= w
	2−x

2x+1 = w(2−x) 2x+1 = 2w−wx 2x+wx = 2w−1 x(2+w) = 2w−1 − równanie takie ma rozwiązanie, pod warunkiem że w≠−2. Rozwiązanie to jest liczbą

	2w−1
x=		∊D.
	2+w

Stąd f(x) = w ma rozwiązanie, gdy w≠−2. Oznacza to, że zbiór wartości funkcji stanowią wszystkie liczby rzeczywiste oprócz (−2).

karol723: Dzięki, ale jak udowodnić, że to jest suriekcja?

PW: No przecież pokazałem. Dla dowolnej w∊R\{−2} istnieje x, dla którego f(x) = w. Funkcja przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru R\{−2|, jest więc przekształceniem "na" zbiór R\{−2}.