rownanie
Krzysiek60: Rozwiaz rownanie w liczbach calkowitych
(xy−1)= (x+1)2+(y+1)2
15 paź 21:04
Saizou:
Małomacie Cześć!
Na pewno dobrze przepisałeś?
bo ten nawias po lewej stronie sugeruje że tam czegoś brakuje
15 paź 21:08
Krzysiek60: Witaj
Saizou 
No zle przepisalem
ma byc (xy−1)
2= (x+1)
2+(y+1)
2
15 paź 21:13
Blee:
to już mocno ułatwiło sprawę
15 paź 21:15
Krzysiek60: I co teraz ? Rozpisac to ?
15 paź 21:18
Krzysiek60: x2y2−2xy+1= x2+2x+1+y2+2y+1
x2y2−−2xy−x2−2x−y2−2y= 1
dalej nie wiem .
15 paź 21:25
grzest:
(xy−1)2= (x+1)2+(y+1)2
Podstawmy liczby x+1=3, y+1=4. Stąd xy−1=5.
32+42=52.
Należy teraz pokazać, że jest to jedyna para spełniająca to równanie.
15 paź 21:33
iteRacj@:
a para (−1,−1)?
15 paź 21:38
Saizou: ja doszedłem do momentu
(y+1)(x+1)(xy−x−y−1)=0
15 paź 21:42
Blee:
grzest ... nie jest to jedyne rozwiązanie:
x = 0 ; y = −1 także pasuje (liczby całkowite)
x = −2 ; y = −1 także pasuje
15 paź 21:43
Krzysiek60: Nie mam we wskazowce do jakiej postaci to doprowadzic wiec ....
napisze odp. x=3 y=2 lub x=2 i y=3 lub x=m i y=1 lub x=−1 i y=n gdzie m n ∊C
15 paź 21:46
iteRacj@: (−1, dowolna całkowita)
(dowolna całkowita, −1)
(3,2)
(2,3)
15 paź 21:47
Blee:
(xy−1)
2 − (x+1)
2 = (y+1)
2
(xy −1 − x − 1)(xy − 1 + x + 1) = (y+1)
2
(xy − x − 2)(x(y+1)) = (y+1)
2
(xy − x − 2)x = y+1
yx
2 − x
2 − 2x = y+1
y(x
2−1) = x
2 + 2x +1
15 paź 21:51
Blee:
przy założeniu, że x ≠ ±1 oczywiście
15 paź 21:52
Blee:
po drodze też było założenie o y ≠ −1 (bo dzieliliśmy obustronnie przez (y+1))
15 paź 21:52
Saizou:
(xy−1)2−(x+1)2−(y+1)2=0 korzystamy z a2−b2=(a−b)(a+b)
(xy−1−x−1)(xy−1+x+1)−(y−1)2=0
(xy−x−2)(xy+x)−(y+1)2=0
(xy−x−2)x(y+1)−(y+1)2=0
(y+1)[(xy−x−2)x−(y+1)]=0
(y−1)[x2y−x2−2x−y−1]=0
(y−1)[y(x2−1)−(x+1)2]=0
(y−1)[y(x+1)(x−1)−(x+1)2]=0
(y−1)(x+1)[y(x−1)−(x+1)]=0
(y−1)(x+1)[xy−x−y−1]=0
(y−1)(x+1)[x(y−1)−(y−1)+2]=0
(y−1)(x+1)[(y−1)(x−1)+2]=0
15 paź 21:54
Krzysiek60: Panowie
Miejcie troche litosci dla siwej glowy
15 paź 22:04
Mila:
Głowę można ufarbować
15 paź 22:06
jc: Krzysiek, podstaw x=a−1, y=b−1, będzie prościej
15 paź 22:06
Krzysiek60: Dobrze
Milu tak zrobie (tylko muszse najpierw wybrac kolor
15 paź 22:10
Krzysiek60: jc jak na to wpadles?
15 paź 22:10
Saizou:
Krzysiek zobacz na prawą stronę: masz tam wyrażeni (x+1)2 oraz (y+1)2; jakie wyrażenia
musisz podstawić za x oraz y, aby pozostały tam same kwadraty (bez przesunięć)
15 paź 22:13
jc: Bo po prawej stronie masz x+1 i y+1.
Podstawiamy a=x+1, b=y+1. Prawa strona wygląda teraz prościej,
a lewa tylko trochę gorzej.
15 paź 22:13
Krzysiek60: Przetrawie to .
Teraz mam takie
3x+xy−4y= 45
x(3+y)−4y= 45
x(3+y)= 45−4y
Ale znowu zle bo nie bede mial do czego porownac tego x−sa
15 paź 22:18
Saizou:
3x+xy−4y−12+12=45
x(y+3)−4(y+3)=33
(y+3)(x−4)=33
15 paź 22:20
Blee:
ale zauważ, że:
| | 45 − 4y | | 45 + 12 − 12 − 4y | | 57 | |
x = |
| = |
| = |
| − 4 |
| | 3+y | | 3+y | | 3+y | |
jeżeli x i y mają być całkowite, to 3+y MUSI dzielić liczbę 57
15 paź 22:21
Krzysiek60: Wiec cakowite dzielniki 57 to {−57, −19 , −3. −1, 1, 3, 19, 57 }
wiec 3+y musi sie rownac tym dzielnikom
15 paź 22:30
Blee:
ale zauważ, że masz BŁĄD w 3 linijce (o 22:18)
15 paź 22:34
Blee:
więc prawidłowo powinno być:
15 paź 22:34
Krzysiek60: No tak powinno byc + 4y
To tak jest jak sie slucha jednoczesnie Shine on you crazy diamond ( graja na mandolinach )
15 paź 22:40
15 paź 22:41