liczby calkowite Krzysiek60: Zadanie : Znajdz takie n naturalne aby liczby n+1 i n−110 byly kwadratami liczb naturalnych Chcialem to zrobic tak (n+1)²= (n−110)² (n+1)²−(n−110)²=0 z tego wyszlo mi n −niecalkowite

Krzysiek60: odp to n=3135 lub n=399

Blee: eeee ale to (n+1) = k² i (n−110) = l² druga sprawa ... dlaczego (n+1)² = (n−110)² popatrz co napisałeś i kiedy to by w ogóle miało sens

Krzysiek60: ja tego nie rozumiem .naprawde To ze przedstawiles (n+1)=k² i (n−110)=l² to tak dalej nie wiem jak Co do drugiej sprawy to napisalem rownosc kiedy kwadraty tych liczb beda rowne a to kicha jest .

Blee: zauważ, że różnica pomiędzy kwadratami kolejnych liczb nie jest przypadkowa: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ... różnice to: 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ..... czyli kolejne liczby nieparzyste różnica pomiędzy (n+1) i (n−110) wynosi dokładnie 111 więc szukasz: 1) po pierwsze, takiego wyrazu ciągu {a_n}, że a_n − a_n−1 = 111 (łatwo go odnaleźć) 2) sprawdzasz czy istnieją takie a_n, a_k że a_n − a_k = 111 (tutaj trochę więcej zabawy) oczywiście ciąg {a_n} dany jest wzorem ogólnym: a_n = 2n+1

Blee: Krzysiek60 a kiedy liczby (n+1)² = (n−110)² (zauważ, że n+1 > n − 110 ... więc ta równość może zajść tylko gdy n+1 = −(n−110) , prawda?! )

Blee: tfu tfu tfu ... do 11:27 oczywiście tam miało być: (1) a_n = 111 (2) S_n − S_k = 111

ICSP: (n+1) = k² (n − 110) = l² Widać, że (k > l) Odejmując równania stronami dostaniesz 111 = k² − l² = (k−l)(k+l) (k−l)(k+l) = 111 = 3 * 37 Dalej lecisz schematem.

ICSP: Blee nikt nie powiedział, ze to maja być kwadraty kolejnych liczb naturalnych.

Blee: i masz: (1) a_n = 2n+1 = 111 −> 2n = 110 −> n = 55 więc k = 55 −> k² = 55² = 3025, więc masz 'n'= 3025 + 111 = 3136 (2)

	3 + 2n+1
Sn =		*n = (n+2)*n = (n−1)2 − 12
	2

S_k = (k+2)*k = (k−1)² − 1² czyli : S_n − S_k = (n−1)² − (k−1)² = (n+k)*(n−k) (n+k)*(n−k) = 111 = 3*37 więc: n−k = 3 oraz n+k = 37 stąd: n = 20 i k = 17 więc szukane 'n' = 20² − 1 = 399 = 17² + 110

Blee: ICPS ... a punkt (2) nie zakłada tego, że są dwoma kolejnymi liczbami naturalnymi

ICSP: no niby tak, ale jakieś to wszystko strasznie skomplikowane się wydaje

Blee: bo przekombinowałem

Krzysiek60: dziekuje za rozwiazania . Czuje sie w tym momencie . Czas odpoczac . Pozniej sie wezme za inne dowody .