Wykaż że 6 dzieli n(n+1)(2n+1) Pioter: Wykazać, że n ∊N 6 | n(n+1)(2n+1) Nie jestem w stanie rozwiązać dowodu. Mógłby ktoś krok po kroku rozwiązać ? Jestem tu (n+1)(n+2)(2n+1+2) i nie wiem co dalej

Blee: nie musisz tego robić indukcyjnie ... nawet jest to mocno nie wskazane

Blee: n(n+1) <−−− iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych ... więc jedna z nich jest parzysta (podzielna przez 2) załóżmy, że żadna z nich (czyli ani n ani (n+1)) nie są podzielne przez 3 (jeżeli któraś z nich jest to już ten iloczyn jest podzielny przez 6) w takim razie n = 3k+1 natomiast n+1 = 3k+2 w takim razie 2n+1 = 2*(3k+1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3*(2k+1) ... czyli jest podzielne przez 3 ładnie opisać i masz gotowy dowód

Pioter: Niby tak ale problem polega na tym że mam takie zadanie że mam rozwiązać to indukcyjnie xD Ale i tak dzięki za szybką odpowiedz :0

Blee: no to skoro MUSISZ indukcyjnie no to 1) n=1 1*2*3 = 6 2) n = k k*(k+1)*(2k+1) = 6j 3) n=k+1 (k+1)*(k+2)*(2k+3) = (k+1)*(k+2)*(2k+1) + (k+1)*(k+2)*2 = = (k+1)*(k)*(2k+1) + (k+1)*2*(2k+1) + (k+1)*(k+2)*2 = // z (2) // = = 6j + (k+1)[ 2(2k+1) + 2(k+2) ] = 6j + (k+1)*[ 4k + 2 + 2k + 4] = 6j + (k+1)*(6k + 6) = = 6j + 6(k+1)² = 6*(j + (k+1)²) c.n.w.

jc: Łatwiej przejść z n−1 do n. (n+1)(2n+1) − (n−1)(2n−1) = 6n Dlatego n(n+1)(2n+1) = (n−1)n(2n−1) + 6n Zatem, jeśli 6 | (n−1)n(2n−1), to 6 | n(n+1)n(2n+1).

Pioter: Dziękuje Bardzo

jc: Mała usterka, powinno być n(n+1)(2n+1) = (n−1)n(2n−1) + 6n²