nierównośc z logarytmem Rivit: log_²3(sin2x + sin²2x + ...) > 0

mat: zacznij od sumy szeregu geometrycznego pod logarytmem, a₁=q=sin2x

Rivit: log_²3(^sin2x_1−sin2x) > 0 mam zamienic prawa strone na logarytm i porownac liczby logarytmowane?

mat:

2
	<1 więc log2/3X>0 gdy X∊(0,1)
3

mat:

sin2x		sin2x
	>0 oraz		<1
1−sin2x		1−sin2x

Rivit: Rozumiem. Pierwsza nierówność rozwiązałem. A drugą mam problem czy zrobi się tu kwadratowe równanie?

Mila: 1) Dziedzina nierówności: q=sin(2x)

	π		kπ
|sin(2x)|<1⇔sin(2x)≠1 i sin(2x)≠−1⇔x≠		+
	4		2

	sin(2x)
2) S=
	1−sin(2x)

3) dziedzina logarytmu:

sin(2x)
	>0
1−sin(2x)

sin(2x)=t, |t|<1 t*(1−t)>0⇔t∊(0,1)

	π
sin(2x)>0 i sin(2x)<1 i x≠		+kπ
	2

	π		π
0+2kπ<2x<		+2kπ lub		+2kπ<2x<π+2kπ /:2
	2		2

	π		π		π
(*) kπ<x<		+kπ lub		+kπ<x<		+kπ
	4		4		2

============================== 4)

	sin(2x)
log2/3		>log2/31⇔
	1−sin(2x)

sin(2x)
	<1
1−sin(2x)

sin(2x)=t, t∊(0,1)

t
	−1<0
1−t

2t−1		1
	<0⇔t∊(0,		)
1−t		2

	1
0<sin(2x)<		i x∊D (*)
	2

	π		5π
0+2kπ<2x<		+2kπ lub		+2kπ<2x<π+2kπ /:2
	6		6

	π		5π		π
kπ<x<		+kπ lub		+kπ<x<		+kπ
	12		12		2

========================================

Rivit: Nawet rozumiem, jedyne co nie czaje to pierwszy warunek Dziedzina nierownosci, dlaczego tam jest moduł? Ja wziąłem tylko to co z mianownika czyli sin 2x ≠ 1

Mila: Szereg geometryczny zbieżny⇔|q|<1

Rivit: Racja. Dzięki wielkie!

Mila:

asdf: Odkopie w sumie. Dlaczego zakładamy sobie że |sin2x| < 1? co sie dzieje gdy sin 2x = 1 albo sin 2x = −1

Jerzy: Bo nieskończony ciąg geometryczny musi być zbieżny, aby istniała jego suma.

asdf: czyli na potrzebe rozwiazania obcinam sinusa z <−1;1> do (−1, 1) ?

Jerzy: Tak, bo tylko wtedy istnieje suma.

asdf: Kiepsko

Jerzy: Tzn ?

asdf: No smutne to jest

iteRacj@: Pociesz się tym, że rozwiązań jest nadal tyle samo.