Algebra Pawel: Pomoze mi ktos obliczyc dziedzine i przeciwdziedzine (z definicji) funkcji √sinx ? Nie wiem jak to zrobic z definicji, jakby ktos mogl mnie poprowadzic za raczke przy tym przykladzie bylbym wdzieczny

Pawel: albo czegos takiego : ¹_|x|−1

mat: pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej, więc sinx≥0, a to oznacza, że x∊<2kπ,π+2kπ> k∊C sinx∊[0,1] gdy x≥0 więc √sinx także należy do przedziału [0,1]

mat: Nie moża dzielić przez zero (mianownik się nie może zerować), więc |x|−1≠0 czyli |x|≠1 czyli x≠1 oraz x≠−1

	1
Weźmy bowiem dowolny y Znajdziemy dla niego x, taki że y=
	|x|−1

y(|x|−1)=1 y|x|−y=1 y|x|=1+y

	1+y
|x|=
	y

	1+y
|x|≥0 oraz |x|≠1, więc		≥0 czyli (1+y)y≥0, więc y≤−1 lub y≥0 (ale y nie może być 0,
	y

bo wtedy y(|x|−1)=1 oznaczałoby, ze 0=1) ostatecznie y∊(−∞,−1> ∪ (0,∞)

Pawel: Dziękuje panowie za pomoc. Problem w tym, iż mam zrobić te zadanie wyznaczając dziedzine i zbior wartosci z definicji. Dla przykladu podam jeden przyklad prawidlowo rozwiazany. f(x) = ¹_{cosx +1} Dziedzina : x∊D_f ⇔ f(x)∊ R ⇔ 1+cosx≠0 ⇔ cosx≠−1 ⇔ x≠π+2kπ ⇔ x∊ (−π+2kπ, π+2kπ) i k∊Z Przeciwdziedzina: y∊P_f ⇔

⎧	y = f(x)
⎩	x∊ Df	⇔

	⎧	y = 11+cosx
⇔	⎩	cosx≠ −1

	⎧	y≠0
⇔	⎨	1+cosx= 1y	⇔
	⎩	cosx≠−1

	⎧	y≠0
⇔	⎩	1<1y ≤1	⇔

	⎧	y≠0
⇔	⎩	0<1y ≤2	⇔

	⎧	y> 0
⇔	⎩	y≥ 12 ⇔ y∊<12; +∞ )	= Pf

Bardzo by mi zalezalo na takim zapisie. Jak zrobic z definicji tamte przyklady, szczegolnie chodzi mi o P_f

mat: przeczytaj to co napisałem i przerob pierwszą funkcję , druga w zasadzie jest w tym zapisie

Pawel: Hmm chyba juz to powoli widze... A z takim przykladem mam problem f(x) = √6x−x² wyznaczylem dziedzine ktora wyszla mi x∊<0;6> I znow wyznaczanie tego nieszczesnego P_f y = √6x−x² y² = |6x−x²| i co z tym dalej? wiem, że x>0 ale czy to wplywa na rozpatrywanie tego modulu?

mat: nie musi być modułu bo dziedzine tak określiłeś, że 6x−x²≥0 Z jakiego przedziału wartości przyjmuje 6x−x² dla x∊<0,6>

Pawel: od <0;3> ? narysowalem sobie parabole i wyliczylem wierzcholek druga wspolrz.

mat: tak, ty już mowisz odpowiedź: gdy x∊<0,6> to 6x−x²∊<0,9>, zatem √6x−x²∊<0,3>

Pawel: I jak tak zapisze to bedzie to poprawnie " z definicji" ?

mat: mnie by to absolutnie satysfakcjonowało

Pawel: Okay. Juz troche to jasniejsze dla mnie. Ale teraz mam taki przyklad i nie wiem jak wybrnac. f(x) = ln(4x² −1) Dziedzina latwo bo 4x² −1 > 0 z trgo dostaje |x| >1/2 ⇔ x∊R − <1/2;1/2> problem sie zaczyna znow przy przeciwdziedzinie. y = ln(4x² −1 ) i co teraz z tym? z definicji logarytmu?

mat: skoro 4x² − 1 może być dowolną liczbą dodatnią (przy założeniach ktore napisales), to ln(4x²−1) może przyjmować dowolną wartość jaką na ogół przyjmuje funkcja logarytm, czyli ZW = R

Pawel: Ta kwestia zapisu mnie troche niepokoi ale rozumiem skad R.

mat: Niech y∊R. Znajdźmy x∊D, takiego że y=ln(4x²−1)

	1
Wystarczą nam nawet x>
	2

e^y=4x²−1 e^y+1=4x²

ey+1
	=x2
4

√ey+1
	=x <−−−takiego x trzeba przyjąć dla zadanego y
2

Pawel: czyli √^{ey +2}₄ > 1/2 z czego e^y > 0 wiec prawda dla kazdego R Okay. A cos takiego? f(x) = x/(1+x²) wiadomo, ze D_f = R teraz D_f y = ^x_1+x² y + x² y = x x² y−x = −y dobrze kombinuje?

mat: tak: x²y−x+y=0 Patrze na to jak na rownanie ax²+bx+c=0, a=y,b=−1,c=y Δ=1−4y², więc układ ma rozwiązanie gdy Δ≥ czyli gdy y∊<−1/2,1/2>

mat: Δ≥0***

Pawel: f(x) = 1/( 2 ^{x − 1} )∞ + 1 D: x⁽x−1) ≠ 0 czyli ^2x₂ ≠ 0 z tego wynika 2^x ≠ 0 wiec D_f = R Przeciwdziedzina funkcje moge zapisac w takiej postaci : (2)/(2^x) +1 = y po przeksztalceniu 2^x = (2)(y−1) da sie cos z tym jeszcze zrobic?

mat: zapisz te funkcje lepiej uzywając U−−>przyklady

Pawel: f(x) = ¹ _{2 ^{x − 1}} +1 ta jedynka jest w liczniku a x−1 w potedzie dwojki w mianowniku

mat:

	1
y=
	2x−1

mat:

	1
y=		+1 **
	2x−1

Pawel: tak ps. nie wiem co robie zle :x

mat: tak, tutaj dziedzina to R, a zbior wartosci to (1,∞) Weźmy dowolny y>1

	1
y=		+1
	2x−1

	1
y−1=
	2x−1

	1
2x−1=
	y−1

	1
x−1=log2(		)
	y−1

	1
x=log2(		)+1
	y−1

Pawel: a jedynka dlaczego nie jest włączona?

Pawel: A dobra już mam. Bo loga b = c to c>0 . Okay jasne. A pomoglbys mi z zadaniami na parzystosc i nieparzystpsc funkcji? Np : czy funkcja jest parzysta f(x) = (2+x²)/(x⁵)

mat: zadaj pytanie w nowym wątku