Grupy izomorficzne Kacper: Dzień dobry, Czy ktoś może mógłby mi wytłumaczyć jak udowodnić, że jeżeli dane są grupy (G,•) i (H,◇), a f jest izomorfizmem f: G −> H To ord(x)=ord(f(x))

Adamm: x^ord(x) = e_G f(x)^ord(x) = f(x^ord(x)) = f(e_G) = e_H ⇒ ord(f(x)) ≤ ord(x) f(x)^ord(f(x)) = e_H f(x^ord(f(x))) = f(e_G) ponieważ jest to izomorfizm, x^ord(f(x)) = e_G ⇒ ord(x) ≤ ord(f(x)) co daje ord(x) = ord(f(x))

Adamm: pominąłem szczegóły typu "weźmy dowolny x∊G"

Kacper: Dzięki tylko jeszcze czemu wiemy, że gdy f(x)⁽ord(x)=e_H Toord(f(x))<=ord(x)? I tak samo w drugim kroku.

Adamm: ord(x) − definicja znasz?

Kacper: No tak, x^ord(x) = element neutralny grupy

Adamm: tak, ale ord(x) to najmniejsza taka liczba naturalna

Kacper: Dobra już rozumiem, po prostu, ord(x) mogłoby być wielokrotnością ord(f(x)) tak?

Adamm: ord(x) jest najmniejszą taką potęgą jak mamy inną, dla której to samo zachodzi, to jest większa lub równa

Kacper: Dzięki wielkie A jak jeszcze pokazać, że f(x)^k = f(x^k)?

Adamm: indukcyjnie

Kacper: −Dla 1 f(x) = f(x) => prawda −Załóżmy, że f(x)^k=f(x^k) −Z założenia f(x)^k*f(x)=f(x^k)*f(x) f(x)^k+1=f(x^k*x) f(x)^k+1=f(x^k+1) Więc dla k+1 => prawda Jest ok?

Adamm: Jest ok