dowód z geometrii bartek10: Mamy wykazać, że jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to zachodzi podana nierówność: √a²+b²–c² + √b²+c²–a² + √c²+a²–b² ≤ a+b+c.

Franklin p_p: Bump

jc: Funkcja f(x)=√x jest funkcją wypukłą, tzn.

	x+y		f(x)+f(y)
f(		) ≥
	2		2

Dodajmy teraz trzy nierówności

	x+y		f(x)+f(y)
f(		) ≥
	2		2

	y+z		f(y)+f(z)
f(		) ≥
	2		2

	z+x		f(z)+f(x)
f(		) ≥
	2		2

	x+y		y+z		z+x
f(		)+f(		)+f(		) ≥ f(x)+f(y)+f(z)
	2		2		2

Po podstawieniu x=a²+b²−c², y=b²+c²−a², z=c²+a²−b² otrzymasz żądaną nierówność.

jc: Trójkąt ostrokątny gwarantuje, że pod pierwiastkami nie znajdą się liczby ujemne.

bartek10: Ta nierówność którą napisałeś na samym początku jest prawdziwa dla wszystkich liczb, większych od 1, dla 0,5 nie będzie się zgadzać.

jc:

	x+y		√x+√y
√		≥		dla dowolnych x, y ≥0.
	2		2

Dla x=y mamy równość, w szczególności dla x=y=1/2. Spróbuj sam udowodnić powyższą nierówność (o ile nie przekonuje Cię wypukły wykres).

jc: Sam dopiszę dowód. (√x + √y)² ≤ (√x + √y)² + (√x − √y)² = 2(x+y) √x + √y ≤ √2 √x+y (√x + √y)/2 ≤ √(x+y)/2