dowód banalny ! kama: dowód banalny, ale mam zmułe: a²+ab+b²≥3(a+b−1) a²+ab+b²−3a−3b+3≥0 próbuję jakoś od końca dojsc do kwadratu sumy albo róznicy ale nic mi nie wychodzi

jc:

	(a−1)2 + (b−1)2 + (a+b−2)2
a2+ab+b2−3(a+b−1) =		≥ 0
	2

aniabb: lub =(a−1)²+(b−1)²+(a−1)(b−1)

PW: Kto ma zmułe(?) może się ratować funkcją kwadratową: (1) a²+(b−3)a+b²−3(b−1) ≥ 0 − spojrzeć na lewą stronę jak na funkcję kwadratową zmiennej "a" z parametrem "b" i liczyć wyróżnik Δ. Δ = (b−3)²−4b²+12(b−1) = −3b²+6b − 3 = −3(b−1)² ≤ 0 dla wszystkich b. Wniosek: Nierówność (1) jest prawdziwa dla wszystkich a, b, przy czym równość ma miejsce tylko dla b=1, kiedy to przybiera postać a²−2a+1 = 0 − prawdziwą tylko dla a=1 Spójrzmy na sposób jc − uzyskał ten sam wynik (licznik jest zerem tylko dla jednoczesnych równości a=1 i b=1).

kama: dzięki choć zawile

PW: Przepraszam, więcej nie będę. Widać nie mam talentu dydaktycznego, choć od czterdziestu paru lat żywiłem taką cichutką nieśmiałą nadzieję.