Badanie własności relacji Witold: Określ własności relacji 𝑄 ⊂ 𝑅² zdefiniowanej: 𝑅 = {(𝑥,𝑦) | 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²) dla zadanego 𝑟 ∈ 𝑅. Mam pytanie jak to wgl ruszyć Gdy chcę sprawdzić zwrotność (xRx)⇔(x²+x²=r²)⇒2x²=r² i co dalej co to dla mnie oznacza. I jak mam zinterpretować r ( dla zadanego r ) ? wybieram dowolne 𝑟 ∈ 𝑅 ? Będę wdzięczny za każdą pomoc

PW: Określenie "dla zadanego r" oznacza, że r jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą (nieważne jaką, ale podczas rozwiązywania zadania niezmienną). Oczywiście przyjmiemy r≠0, gdyż dla r=0 jedyną parą spełniającą relację byłaby (0, 0). Geometrycznie spełnianie relacji przez parę (x, y) oznacza, że punkt P=(x,y) należy do okręgu o promieniu r. Oczywiście relacja jest zwrotna: − jeżeli (x, x)∊Q, to (x, x)∊Q i symetryczna: − jeżeli (x, y)∊Q, to (y, x)∊Q, co wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb rzeczywistych. (x²+y²=r² ) ⇒ (y²+x²=r²)

Witold: Nie za bardzo rozumiem zwrotności tutaj. Mam rozumieć że po prostu rozpatrujemy wszystkie punkty na okręgu o zadanym promieniu. Więc jeśli r=4 to punkt np (4,0) spełnia relację to też punkt (0,4) też spełnia tą relację ? Mam pytanie dotyczące Przechodniości (xRy)∧(yRx)⇒(xRz) ⇔ (x²+y²=r²)∧(y²+z²=r²)⇒(x²+z²=r²)⇔(y²=r²−x²)∧(x²=z²)⇒ (x²+x²=r²) nie jest przechodnia ? i spójności (xRy)∨(yRx)⇔(x²+y²=r²)∨(y²+x²=r²) i co dalej ?

ite: @PW czy zwrotność relacji Q⊂R² nie musi oznaczać, że ∀(x∊R) x²+x²=r² czyli każda para (x,x) ma należeć do relacji Q ? czy wystarczy taka implikacja jak podałeś? bo wtedy (impilkacja) to chyba każda relacja byłaby zwrotna?

ite: niezręcznie sformułowałam pytanie, spróbuję na przykładzie jeśli tak jak przyjął Witold r=4, to pary np. (0,4), (0,−4), (4,0), (−4,0), (2,−2), (−2,−2), (√15, −1) należą do relacji Q, więc i pary (4,4) czy (√15,√15) musiałyby należeć do Q żeby relacja była zwrotna? więc zwrotna nie jest czy wystarczy taka implikacja jak podałeś? i wtedy relacja Q jest zwrotna

Witold: @ite właśnie też mnie to cały czas zastanawia w relacji. Czy bierzemy pary typu (4,4) czy pary które "z góry należą do okręgu dla danego r".

Adamm: @ite, PW oczywiście nie ma w tym przypadku racji (odnośnie zwrotności) relacja, jak zauważyłaś, nie jest zwrotna PW ma rację co do symetryczności Relacja nie jest również przeciwzwrotna, bo istnieją punkty na prostej y=x, które przecinają ten zbiór. Relacja jest antysymetryczna jedynie dla r=0. nie jest przeciwsymetryczna (jest symetryczna) x²+y²=r² ∧ y²+z²=r² ⇒ x=z lub x=−z Relacja jest przechodnia jedynie gdy r=0 spójna oczywiście nie jest, nawet przy mocniejszym warunku spójności (czyli xRy lub yRx lub x=y)

ite: dla r=0 ta relacja jest relacją równoważności ?

Adamm: Nie

PW: Macie rację, ze zwrotnością wykonałem coś dziwnego (zapomniałem o kiwantyfikatorze).