Badanie własności relacji Witold: Mam banalne zadania żeby określić własności relacji 𝑄 ⊂ 𝑅² zdefiniowanej: ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝑅,𝑥𝑄𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦 + 2. Udało mi się określić że jest przeciw zwrotna i antysymetryczna. Mam problem z określeniem przechodniości i spójności. Jak by ktoś miał chęć prosił bym jeszcze o napisanie że relacja jest zwrotna i antysymetryczna "profesjonalnie" mam problem z zapisem, żeby był czytelny i wykładowca zadowolony. Z góry dziękuje

PW: (xQy)∧(yQz) ⇔ (x−y=2)∧(y−z=2) ⇒ x−z = 4 − z faktu że (xQy) i (yQz) nie wynika, że xQz, czyli relacja Q nie jest przechodnia.

Witold: Bardzo dziękuje

mat: zwrotość: x=x+2⇔0=2 NIE przeciwzwrotmość ¬(x=x+2)⇔x≠x+2⇔0≠2 TAK symetryczność: pytamy czy x=y+2⇒y=x+2 NIE, x=2,y=0 przeciwsymetryczność czy x=y+2⇒¬(y=x+2) ⇔x=y+2⇒ y≠x+2 TAK, bo y≠y+2+2 (0≠4) przechodniość x=y+2 i y=z+2, pytamy czy x=z+2. Mamy x=y+2=z+2+2=z+4, więc NIE spójność: czy zachodzi x=y+2 lub y=x+2 dla dowolnych x,y∊R, NIE x=5, y=10