Udowodnić nierówność z logarytmami WeraX: Udowodnić,że log(10,a)+log(a,10) ≥ 2 dla a>1

mat:

	1		1
log10a+loga10=log10a+		=x+
	log10a		x

gdzie x=log₁₀a zauważmy, że x>0 bo a>1

	1
wystarczy więc pokazać, że x+		≥2 dla x>0
	x

x²+1≥2x⇔x²−2x+1≥0⇔(x−1)²≥−0

PW: Wiadomo, że

	1
loga(10)=		,
	log10(a)

a więc przy odpowiednim podstawieniu badana nierówność ma postać

	1
x +		≥ 2.
	x

Nierówność ta jest prawdziwa dla wszystkich x >0, a tak u nas jest, gdyż dla a > 1 log₁₀(a) = x > 0 .

PW: Nie widziałem, byłeś o minutę szybszy

mat: nic sie nie dzieje, jak przeczyta dwa razy to moze lepiej zrozumie

Eta: loga>0 i log_a10>0 dla a>1 z nierówności między średnimi am−gm

loga+loga10
	≥ √loga*loga10=1
2

to loga+log_a10≥2 dla a>1 c.n.w

WeraX: Dzięki wszystkim