rozwiąż rownanie w zbiorze liczb zespolonych rivit: (z₂)⁶ = −8 * z * |z| * z₂ z₂ to sprzężenie Proszę o rozwiązanie

PW: Tak ma być? (z̅)⁶=−8z •|z|•z̅

rivit: Dokladnie tak, jak tu sie sprzezenie robi bo nie moge znalezc nawet w innych, chyba ze przeoczylem z

PW: Trzeba za pomocą programu Charmap (Tablica znaków) z zestawu Microsoft Sans Serif skopiować znak Combining Overlay i tutaj wkleic po "z".

rivit: Czaje, wiesz może jak to rozwiązać?

PW: Wskazówka: zz̅ = |z|²

Mila: z^* − z sprzężone (z^*)⁶=−8*z*z^* *|z| (z^*)⁶=−8|z|³ z=r*e^iφ r⁶*e^−6iφ=8e^iπ*r³ r>0 i 0≤φ<2π r⁶=8r³ i −6φ=π+2kπ

	π		2π
r=0 lub r=2, φ=−		−		, k=−1,−2,−3,−4,−5,−6
	6		6

z∊{0, 2i,−2i,√3+i,√3−i,−√3+i,−√3−i} posprawdzaj te wynki

rivit: Wyniki dobre A dlaczego nie mogę cześci rzeczywistych porównać w ten sposob? r⁶ = −8*r³ Wiem, że wtedy r = 0, bo r= − 2 nie moze byc, ale dlaczego tak jest, że muszę ten minus zamieniać na e^πi

Mila: z=−8 arg(−8)=π z=8*e^iπ

PW: (z̅)⁶ = −8|z|³ (z̅)⁶ = (−2|z|)³ Jest oczywiste, że z₀=0 jest jednym z rozwiązań. Dla pozostałych z można wykonać dzielenie:

	z̅2
(		)3=1,
	−2|z|

tak więc liczby postaci

	z̅2
	−2|z|

tworzą pierwiastek trzeciego stopnia z jedności, czyli

	z̅2		z̅2		z̅2
		=1 lub		=i lub		=−i.
	−2|z|		−2|z|		−2|z|

Te równania można rozwiązać bez używania postaci trygonoimetrycznej uzyskując wyniki podane przez Milę. Pokażę na przykładzie pierwszego: (1) z̅²=−2|z| − prawa strona jest liczbą rzeczywistą ujemną, zatem z̅ musi mieć postać "czysto urojoną" − dla pewnej rzeczywistej b jest z̅=−bi i (1) przyjmuje postać −b²=−2√b², skąd |b|=2 b=−2 lub b=2, co oznacza że rozwiązaniami (1) są z₁=−2i, z₂=2i. Pewnie to trwa dłużej, ale da się rozwiązać podstawieniem z=a+bi stosowanym chętnie przez początkujących.