Dużo zadań z logiki
Franek12: Witajcie, mam kilka zadań do zrobienia z algebry i logiki a nie za bardzo to rozumiem, więc
proszę was o pomoc. Tutaj jest po jednym przykładzie z zadań. Jak ogarnę przykłady to następne
przykłady wolę sam zrobić. <3 Z góry dziękuję
Zad.1 Zdefiniować alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji.
Zad. 2 Zdefiniować alternatywę za pomocą implikacji i negacji.
Zad. 3. Udowodnić, że nie można zdefiniować implikacji za pomocą alternatywy
i koniunkcji.
Zad.4 Używając spójników logicznych ∼, ∨, ∧, wyznaczyć wyrażenie zależne od
zmiennych p, q, r, s, które przyjmuje wartosc 1 tylko w przypadku gdy p
ma wartosc 1, q wartosc 0, r wartosc 1 i s wartosc 1.
Zad.5 Uaywajac spójników logicznych ∼, ∨, ∧, wyznaczyc wyrazenie zalezne od
zmiennych p, q, r, s, które przyjmuje wartosc 1 tylko w przypadku gdy p
ma wartosc 1, q wartosc 0, r wartosc 1 i s wartosc 1 lub gdy p ma wartosc
0, q wartosc 1, r wartosc 1 i s wartosc 1 .
Zad.6 Uzywajac spójników logicznych ∼, ∨, ∧, wyznaczyc wyrazenie zalezne od
zmiennych p, q, r, s, które przyjmuje wartosc 0 tylko w przypadku gdy p
ma wartosc 1, q wartosc1, r wartosc 0 i s wartosc 1.
Zad.7 Uaywajac spójników logicznych ∼, ∨, ∧, wyznaczyc wyrazenie zalezne od
zmiennych p, q, r, s, które przyjmuje wartosc 0 tylko w przypadku gdy p
ma wartosc 1, q wartosc 1, r wartosc 1 i s wartosc 0 lub gdy p ma wartosc
1, q wartosc 1, r wartosc 0 i s wartosc 1 .
Zad.8 Uzywajac róznych tautologii, uproscic wyrazenia:
(a) (∼ p ∧ q∧ ∼ r) ∨ (∼ p ∧ q ∧ r) ∨ (∼ p∧ ∼ q∧ ∼ r),
(b) (p ∧ q ∧ r) ∨ (∼ p∧ ∼ q ∧ r) ∨ (∼ p∧ ∼ q∧ ∼ r) ∨ (∼ p ∧ q∧ ∼ r)
Zad 9. Znalezc formule w mozliwie najkrótszej formie zapisana przy pomocy
spójników ∼, ∨, ∧ równowazna formule:
(a) ∼ p ⇒∼∼ q,
(b) (p ∧ q)∨ ∼ (∼ p ⇒ q),
(c) p ∧ r ⇒ q.
Zad 10. Przeanalizowac rozumowanie:
Jezeli jestem geniuszem lub bede sie uczyc, zdam egzamin. Jesli zdam egzamin,
zostane dopuszczony do nastepnych wykladów. A wiec nie bede sie
uczyc.
Zad. 11 Przeanalizowac zdanie:
Jezeli fgura A jest czworokatem i A ma wszystkie katy równe, to z faktu,
iz A jest czworokatem, wynika iz A ma wszystkie boki równe.
Zad. 12 Udowodnic nastepujace twierdzenie:
Jezli prawdziwe sa wynikania p1 ⇒ q1, . . . , pn ⇒ qn oraz zdania (p1 ∨. . .∨
pn) i ∼ (qi∧qj ) dla i 6= j to prawdziwe sa te» wynikania q1 ⇒ p1, . . . , qn ⇒
pn.
Mówimy wtedy, »e zdania p1, . . . , pn, q1, . . . , qn tworza zamkniety uklad
twierdzen.
Zad. 13 Przeanalizowac poprawnosc ponizszych wypowiedzi:
(a) Jezli bede sie uczyc lub jestem geniuszem zdam egzamin. Nie zostane
dopuszczony do nastepnych wykladów. Jezeli zdam egzamin, zostane
dopuszczony do nastepnych wykladów. A wiec nie bede sie uczyc.
(b) Wiemy, ze jezli program komputerowy dziala poprawnie, to zaczyna
i konczy dzialanie oraz wiemy, ze nasz program rozpoczal dzialanie i
nie dzialal poprawnie. Wnioskujemy stad, »e program nie zakonczyl
dzialania.
(c) Jestem slawnym koszykarzem. Slawni koszykarze zarabiaja duzo pieniedzy.
Jezeli zarabiam duzo pieniedzy, to ty powinnas robic co kaze.
Mówil, ze powinnas kupic buty Pearly Maid. Zatem powinnas kupic
te buty.
(d) Jezli jestem dorosly, to jestem duzy i dzielny. Życie jest ciezkie i
nikt mnie nie kocha, jezli jestem duzy i dzielny i lata mijaja. Jezli
jestem duzy i dzielny i nikt mnie nie kocha, to jestem dorosly. Jezli
jestem duzy i dzielny lub nie mijaja lata, to tez jestem dorosly. Jezli
jestem duzy i dzielny lub lata mijaja, to nikt mnie nie kocha. Lata
albo mijaja, albo nie. Jezli jestem duzy i dzielny i ktos mnie kocha,
to jestem dorosly. A wiec jestem dorosly (to jest przyklad bardzo
doroslego rozumowania).
Zad. 14
Udowodnic, ze
(a) Istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych.
(b) Istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 3.
(c) Jezli m + n ≥ 73, to m ≥ 37 lub n ≥ 37.
(d) Liczba zlozona n ma dzielnik pierwszy p taki, ze p ≤√n.
(e) Iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczba parzysta.
(f) Liczba √3 jest niewymierna.
(g) Liczba pierwiastek 3 stopnia z 2 jest niewymierna.
(h) Dla kazdej liczby naturalnej n, liczba n
3 + n jest parzysta.
(i) Liczba n
4−n
2 jest podzielna przez 3 dla wszystkich liczb naturalnych n.
(j) Suma dwóch liczb parzystych jest liczba parzysta.
(k) |x · y| = |x| · |y| dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y.
BARDZO DZIĘKUJĘ ZA WSZELAKĄ POMOC <3