logika Zozol: Czy dla liczby naturalnej p nie mniejszej niż pięć to, że jest liczbą pierwszą jest warunkiem wystarczającym, aby 240 dzieliło p5−p? Czy jest to warunek konieczny?

Blee: 240 = 2⁴*3*5 p⁵−p = p(p⁴ − 1) = p*(p²−1)(p²+1) = (p−1)*p*(p+1)*(p²+1) (p−1)*p*(p+1) jest to nic innego jak iloczyn trzech KOLEJNYCH liczb naturalnych ... przy czym p−1 i p+1 są liczbami PARZYSTYMI Co za tym idzie ... iloczyn (p−1)*p*(p+1) jest podzielny przez 2*3*4 = 2³*3 Skoro p jest liczbą pierwszą ... to p²+1 będzie liczbą parzystą, więc jest podzielne przez 2 Jeżeli: a) p (mod 5) = 1 to (p−1) podzielne przez 5 b) p (mod 5) = 4 to (p+1) podzielne przez 5 Niech p (mod 5) = 2, wtedy p² (mod 5) = 4, więc (p²+1) podzielne przez 5 Niech p (mod 5) = 3, wtedy p² (mod 5) = 4, więc (p²+1) podzielne przez 5 czyli, jeżeli p jest liczbą pierwszą, to p⁵ − p jest podzielne przez 240. Więc tak ... to jest warunek WYSTARCZAJĄCY. Czy jest koniecznym warunkiem? Oczywiście, że NIE ... niech p = 240 ... oczywistą oczywistością jest, że 240⁵ − 240 będzie podzielne przez 240

Zozol: Mógłbyś jeszcze tylko wyjaśnić co oznacza (mod 5)? Wszystko super wyjaśnione, tylko tego nie rozumiem

Bleee: p (mod 5) oznacza dokładnie to: " reszta z dzielenia liczby p przez liczbę 5 wynosi...."

Bleee: Można to inaczej zapisać jako: Niech p = 5k +1 ; gdzie k∊Z <−−− taki zapis oznacza że reszta z dzielenia p przez 5 jest równa 1 i znaczy to samo co zapis: p (mod 5) = 1