Algebra - grupy Uczący_Się: Uzasadnić, że jeżeli f jest epimorfizmem grup (G, *) i (H, Δ) oraz e jest elementem neutralnym grupy G, to f(e) jest elementem neutralnym grupy H. Niedawno zacząłem studia, a pierwszy wykład z Algebry (np to zadanie) mnie położył. Proszę o pomoc !

PW: Nie chcę być złośliwy. To są początki i trzeba mocno przysiąść, żeby przyswoić definicje. Inaczej nic z tego nie będzie. Początki tej "algebry wyższej" nie są trudne, pod warunkiem że ma się w głowie wszystkie definicje i twierdzenia. W tym zadaniu nie ma nic trudnego, jeżeli wiemy co to jest element neutralny grupy i co to jest epimorfizm.

Uczący_Się: Wiem, że element neutralny to taki, który po prostu nie zmieni dowolnego elementu grupy. Epimorfizm to homomorfizm (tutaj ten warunek h(a * b) = h(a) ◯ h(b) ) plus surjekcja funkcji. Pojęć nie znam tak bardzo dobrze, przyznam, że nie lubię wkuwać bez zrozumienia tematu, a tutaj tak jest. Zadanie dalej pozostaje dla mnie trudne

Adamm: jeśli f jest homomorfizmem grup (G, •) i (H, *) f(e_G) * f(e_G) = f(e_G • e_G) = f(e_G) = e_H * f(e_G) z reguły skracania f(e_G) = e_H c. n. d.

UczącySię: Czy wystarczy powiedzieć, że jeśli f jest epimorfizmem czyli grupy są takimi samymi suriekcjami to maja ten sam el. Neutralny ? Tego co napisał Adamm trochę nie rozumiem, skąd to wynika ...?

Adam: f(e_G) * f(e_G) = f(e_G * e_G) Bo f jest homomorfizmem. f(e_G * e_G) = f(e_G) Bo e_G jest elementem neutralnym f(e_G) = e_H * f(e_G) Bo e_H jest elementem neutralnym Reguła skracania mówi, że dla dowolnej grupy G: ∀_{x, y, z∊G} xz=yz ⇒ x=y Zatem f(e_G)f(e_G) = e_Hf(e_G) ⇒ f(e_G) = e_H