Znajdź pierwiastki następujących wielomianów w dziedzinie zespolonej
rivit: g(z) = z
6+2z
5+4z
4+4z
3+5z
2+2z+2, jeżeli wiadomo, że z0 = i jest podwójnym
pierwiastkiem wielomianu g (wykorzystaj odpowiednie twierdzenie).
Robiąc hornera doszedłem do:
g(z) = (z−i)
2 * ( z
4 + (2+2i)*z
3 + (4i+1)*z
2 + (−2+4i)*z − 2) = 0
Jednak nie wiem co dalej zrobić
Prosze o pomoc
6 paź 23:06
Adamm:
skoro i jest PODWÓJNYM pierwiastkiem wielomianu g,
to jego sprzężenie, −i, jest PODWÓJNYM pierwiastkiem wielomianu g
zatem dzielimy g przez (z−i)2(z+i)2 = (z2+1)2
6 paź 23:10
Adamm:
jest tak bo g jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych
6 paź 23:12
rivit: Tak! Tak to jest jak się nie ogarnie teorii. Dzięki wielkie!
6 paź 23:29
Mila:
(−i ) też jest podwójnym pierwiastkiem
znowu Horner albo tak:
(z−i)
2*(z+i)
2=(z
2+1)
2=z
4+2z
2+1
(z
6+2z
5+4z
4+4z
3+5z
2+2z+2): (z
4+2z
2+1)=z
2+2z+2
−(z
6+2z
4+z
2)
−−−−−−−−−−−−−−
2z
5+2z
4+4z
3+4z
2+2z+2
−(2z
5+4z
3+2z)
−−−−−−−−−−−−−−−−−
2z
4 +4z
2+2
−(z
4*4z
2+2)
−−−−−−−−−−−−−−−− reszta 0
(z
6+2z
5+4z
4+4z
3+5z
2+2z+2)=(z
4+2z
2+1)*(z
2+2z+2)
z
2+2z+2=0
Δ=4−8=−4
| | −2−2i | | −2+2i | |
z= |
| lub z= |
| |
| | 2 | | 2 | |
z=−1−i lub z=−1+i
odp:
z=−1−i lub z=−1+i lub z=i lub z=−i
6 paź 23:37