Znajdź pierwiastki następujących wielomianów w dziedzinie zespolonej rivit: Znajdź pierwiastki następujących wielomianów w dziedzinie zespolonej f(z) = z⁴ − (2i − 1)¹² jak to ugryźć?

Mila: z⁴ − (2i − 1)¹²=0⇔ (z²−(2i−1)⁶)*(z²+(2i−1)⁶)=0 (z−(2i−1)³)*(z+(2i−1)³)*(z²−i²*(2i−1)⁶)=0 z=(2i−1)³ lub z=−(2i−1)³ lub (z−i*(2i−1)³)=0 lub z+i*(2i−1)³)=0 z=11−2i lub z=−11+2i lub z=2+11i lub z=−2−11i ======================================

rivit: Jak obliczyłaś z=(2i−1)³? próbuję zamienić na postać trygonometryczną ale nijak nie wiem jak kąty wtedy bo pojawia się pierwiastek z 5...

Adamm: Właśnie to jest takie zadanie, żeby nie można było sobie podstawić pod postać trygonometryczną

Adamm: z⁴ = (2i−1)¹² z = ε_i (2i−1)³, gdzie ε_i to rozwiązania ε⁴=1, czyli 1, −1, i, −i

Mila: (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³ albo (2i−1)²*(2i−1)=... (2i−1)³=(2i)³−3*(2i)²*1+3*2i*1²−1³= =8i²*i−3*4*i²+6i−1=−8i+12+6i−1=11−2i

rivit: A moglbys wyjasnic dlaczego tak się robi i co to wlasciwie jest? Bo probowalem pierwiastek wyciagac, ale wlasnie zauwazylem ze przeciez powinny byc 4 rozwiazania, a mam jedno. Skąd się pojawia to ε

Adamm: a jakbyś miał np. x⁴ = 2⁴, w rzeczywistych, to ile byś miał rozwiązań?

rivit: Przykład jest analogiczny. x = ε * 2 ; ε = { 1, −1 } A czym jest ten ε, w sensie jak to nazwać? Traktuje to jak taki 'modyfikator', który mi pozwala znaleźć resztę rozwiązań.

Adamm: z⁴ = (2i−1)¹² (*) teraz jeśli ε∊{1, −1, i, −i}, to (εz)⁴ = ε⁴z⁴ = z⁴ tak więc, jeśli z jest rozwiązaniem równania (*), to również εz jest takim rozwiązaniem ale wiadomo, z podstawowego twierdzenia arytmetyki, że każdy wielomian ma pierwiastków tyle, ile wynosi jego stopień (z dokładnością do krotności) pierwszy pierwiastek łatwo zobaczyć, to po prostu (2i−1)³ a że z, −z, iz, z są wszystkie różne, to muszą być to wszystkie pierwiastki

Adamm: podstawowe twierdzenie algebry, nie arytmetyki

rivit: Super! dzięki wielkie