Udowodnij Satan: Mam udowodnić, że dla n − nieparzystych wyrażenie n⁴ − 1 jest podzielne przez 16. Więc: n⁴ − 1 = (n² − 1)(n² + 1) = (n − 1)(n + 1)(n² + 1) Teraz: n = 2k + 1, k ∊ N₊ Wracam do wyrażenia podstawiając jednocześnie za n nowe wyrażenie: (2k + 1 − 1)(2k + 1 + 1)( (2k + 1)² + 1) = 2k(2k + 2)(4k² + 4k + 2) = = 8k(k + 1)(2k² + 2k + 1) I teraz jeśli napiszę, że k i k+1 są dwiema kolejnymi liczbami, więc jedna z nich jest parzysta, a więc w rozkładzie na czynniki zawiera w sobie conajmniej jedną liczbę 2, a zatem cały iloczyn jest podzielny przez 2 i 8, to wystarczy, by dowód był poprawny?

Adamm:

	k(k+1)
16		(2k2+2k+1)
	2

k(k+1)
	(2k2+2k+1) jest naturalne, więc 16|n4−1
2

Satan: Czyli tak, dziękuję

xn: Wystarczy. k*(k+1)−liczba podzielna przez 2 jako iloczyn kolejnych liczb naturalnych.