W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie: xXx: W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie: (a) z² − 5¯z = 0, (b) z² = 4¯z ¯z − Sprzężenie liczby zespolonej

jc: Gwiazdka u góry też oznacza sprzężenie. |z²|=5|z^*| |z|²=5|z| |z|=0 lub |z|=5 Jeśli |z|=0, to z=0 i to faktycznie jest rozwiązanie. Jezli |z|=5, to mnozymy obie strony równania z²=5z^* przez z. z³=125

	−1+i√3		−1−i√3
z=5 lub z=5		lub z=5
	2		2

Sprawdzamy, że to też są rozwiązania.

xXx: możesz wytłumaczyć to bo nie do końca rozumiem

PW: z²−5z̅=0 z²=5z̅ Skoro liczby mają być równe, to muszą mieć równe moduły: (1) |z²|=|5z̅| . Korzystamy ze znanych faktów: |z²|=|z|² i |5z̅|=5|z̅|=5|z|, a więc (1) można zapisać jako |z|² = 5|z|. Jest to zwykłe równanie kwadratowe w zbiorze liczb rzeczywistych, jego rozwiązania to |z| = 0 lub |z| = 5. Pierwsze rozwiązanie oznacza, że z = 0 (jedyna liczba zespolona o zerowym module to 0). W drugim wypadku wracamy do wyjściowego równania z² − 5z̅ = 0 i mnożymy je stronami przez liczbę z≠0: z³ − 5zz̅ = 0, a ponieważ zz̅ = |z|² z³ − 5|z|² = 0 po uwzględnieniu |z|=5 otrzymamy stąd z³ − 125 = 0

	z3
		= 1
	125

	z
(		)3 = 1.
	5

	z
W takim razie liczba		jest jedną z trzech liczb stanowiących |"pierwiastek trzeciego
	5

stopnia z jedności". jc traktuje, że jest to rzecz powszechnie znana (pamięta te liczby) i dlatego stwierdza, że w takim razie

	z		z		−1+√3		z		−1−√3
		= 1 lub		=		lub		=		.
	5		5		2		5		2

Na koniec zaleca sprawdzenie, bo rozwiązanie polegało na kolejnych wynikaniach, a nie równoważnościach (takie rozwiązanie wymaga sprawdzenia).

Mila: Jeżeli masz problem z z^*, to rozwiąż tak: z=x+iy, x,y∊R z²−5z^*=0 (x+iy)²−5*(x−iy)=0 x²+2xy i−y²)−5x+5y i=0 (x²−5x−y²)+i*(2xy+5y)=0 (1) x²−5x−y²=0 i (2) 2xy+5y=0

	5
z (2) y*(2x+5)=0⇔y=0 lub x=−
	2

Podstawiamy do (1) y=0 x²−5x=0⇔x=0 lub x=5 stąd: z₁=(0,0) lub z₂=(5,0) =============== lub

	5
x=−
	2

25		25
	+		=y2
4		2

75
	=y2
4

	5√3		5√3
y=		lub y=−
	2		2

stąd:

	5		5√3		5		5√3
z3=−		+		*i lub z4=−		−		*i
	2		2		2		2

========================

xXx: o dzięki wielkie już rozumiem