trygonometria mf:

	1
Wykaż, że prawdziwe jest sin4α+cos4α=		sin22α+cos22α
	2

Eta: a⁴+b⁴=(a²+b²)²−2a²*b²

	1		1
L= (sin2a+cos2a)2−		(4sin2acos2a)= 1−		sin2(2a) =
	2		2

	1
= sins2(2a)+cos2(2a)−		sin2(2a)= ...=P
	2

mf: Dziękuję!

PW: Dla zabawy sposób inny niż zwykle. Policzmy pochodne obu stron, dla wygody piszę x zamiast α. L'x)=4sin³xcosx+4cos³x(−sinx)=4sinxcosx(sin²x−cos²x)=−4sinxcosx(cos2x)=−2sin2xcos2x=−sin4x

	1		1		1
P(x) =		sin22x+cos22x=sin22x+cos22x−		sin22x=1−		sin22x
	2		2		2

	1
P'(x) = −		2sin2x(cos2x)•2 = −2sin2xcos2x = −sin4x
	2

Pokazaliśmy, że lewa i prawa strona mają identyczne pochodne, a więc różnią się co najwyżej o stałą. Wystarczy sprawdzić czy L(x₀)=P(x₀) dla jakiegoś x₀, np. dla x₀=0. Jeżeli tak, to L(x) = P(x\) dla każdego x. Korzystamy z twierdzenia: Jeżeli dla wszystkich x L'(x) = P'(x), to dla wszystkich x L(x) = P(x) + C. Jeżeli L(x₀)=P(x₀), to C=0, a więc dla wszystkich x L(x) = P(x).

Eta: