Jak to zrobić?? JSNZ: a,b,c∊R i są dodatnie Udowodnij,że:

b+c		c+a		a+b		1		1		1
	+		+		≤		+		+
a2+bc		b2+ac		c2+ab		a		b		c

Mila: Może tak spróbuj: zał. a≤b≤c

b+c		1		(b−a)*(b−c)
	−		=
a2+bc		a		a2+bc

Mianownik dodatni, licznik ujemny lub równy 0. dalej tak samo

JSNZ: a jak to sprowadziłaś do wspólnego mianownika?

Mila: Mianownik ma być a*(a²+bc) , pomyłka w pisaniu. Napisać po kolei?

JSNZ: narazie mi pasuje wszystko

JSNZ: a nie ma być licznik równy (a−c)(b−a)? przy tym mianowniku?

PW: Pewnie miało być przy założeniu c≤b≤a

	b+c		1		bc+c2−a2−bc		c2−a2
		−		=		=
	a2+bc		c		b(a2+bc)		b(a2+bc)

− licznik niedodatni. Ale dla pozostałych różnic tak łatwo nie jest, nie umiem oszacować.

Mila:

	(b−a)*(a−c)
1)		≤0
	a*(a2+bc)

	(a−c)*(c−b)
3)		≤0
	c*(c2+ab)

ale z drugim jest kłopot, bo licznik jest≥0 I trzeba dalej myśleć.

ICSP: Do sprawdzenia. Ze względu na symetryczność mogę założyć, że a < b < c (przypadki a = b , a = b = c ) są oczywiste.

	1		b+c		a2 + bc − a(b+c)		(a−b)(a−c)
L1:		−		=		=
	a		a2 + bc		a(a2 + bc		a(a2 + bc)

> 0 Analogicznie :

	1		a + c		(b−a)(b−c)
L2:		−		=		< 0
	b		b2 + ac		b(b2 + ac)

	1		a + b		(c−a)(c−b)
L3:		−		=		> 0
	c		c2 + ab		c(c2 + ba)

Ze względu na monotoniczność funkcji f(x) = x³ mam : a³ < b³ // + abc a³ + abc < b³ + abc a(a² + bc) < b(b² + ac) Liczby są dodatnie, więc mogę je zapisać w wartości bezwzględnej:

	1		1
(1*) |		| > |		|
	a(a2 + bc)		b(b2 + ac)

// a < b // * (−1) −a > −b c−a > c − b // liczby dodatnie (2*) |c − a| > |c − b| Mnożąc stronami (1*) , (2*) , |a − b| > 0 dostaje:

	(a−c)(a−b)		(b−c)(b−a)
|		| > |		|
	a(a2 + bc)		b(b2 + ac)

czyli |L₁| > |L₂| co kończy dowód.

JSNZ: wow dzięki

ICSP: Vax sprawdzisz ? Albo podasz lepszy sposób ?

jc:

1		1		1		a+b		b+c		c+a
	+		+		−		−		−
a		b		c		ab+c2		bc+a2		ca+b2

	(ab−bc)2+(bc−ca)2+(ca−ab)2
=		≥ 0
	2abc(ab+c2)(bc+a2)(ca+b2)

dla dodatnich a, b, c.