Jak poradzić sobie z tą całką? Mateusz: Hej, znów potrzebuję pomocy z całką trygonometryczną Jest przykład:

	dx
∫
	(sin2x+3cos2x)2

Próbowałem go rozwiązywać przez uniwersalne podstawienie t= tgx x = arctg t

	dt
dx =
	1+t2

	t2+1 dt
Doszedłem więc do wyniku: ∫		i tutaj nie wiem jak je dalej ruszyć,
	(t2+3)2

prosiłbym o jakąś podpowiedź. Z góry dziękuję.

	3		tgx		tgx
Wynik ma wynosić I =		arctg		−
	4√2		√2		4tg2x+2

Blee:

t2+1		t2 + 3 −2		1		2
	=		=		−
(t2+3)2		(t2+3)2		t2+3		(t2+3)2

podstawienie do drugiego ułamka: u = √3 tg(t)

Mariusz: Lepiej wyprowadzić przez części wzór redukcyjny Można też wydzielić część wymierną

	t2+1		a1t+a0		b1t+b0
∫		dt =		+∫		dt
	(t2+3)2		t2+3		t2+3

t2+1		a1(t2+3)−2t(a1t+a0)		b1t+b0
	=		+
(t2+3)2		(t2+3)2		t2+3

t²+1 = a₁(t²+3)−2t(a₁t+a₀)+(b₁t+b₀)(t²+3) t²+1 = a₁t²+3a₁−2a₁t²−2a₀t+(b₁t³+3b₁t+b₀t²+3b₀) t²+1 = b₁t³+(b₀−a₁)t²+(3b₁−2a₀)t+3a₁+3b₀ b₁ = 0 b₀−a₁=1 3b₁−2a₀=0 3a₁+3b₀=1 b₁=0 a₀=0 −a₁+b₀=1 3a₁+3b₀=1 b₁=0 a₀=0 −3a₁+3b₀=3 3a₁+3b₀=1 b₁=0 a₀=0 3b₀=2 a₁=−1+b₀ b₁=0 a₀=0 3b₀=2 3a₁=−1

	t2+1		1	t		2		dt
∫		dt =−			+		∫
	(t2+3)2		3	t2+3		3		t2+3

	t2+1		1	t		2	1		dt
∫		dt =−			+			∫
	(t2+3)2		3	t2+3		3	3		t   1+( )2   √3

	t2+1		1	t		2		t
∫		dt =−			+		arctan(		)+C
	(t2+3)2		3	t2+3		3√3		√3

	t2+1		1	t		2√3		√3
∫		dt =−			+		arctan(		t)+C
	(t2+3)2		3	t2+3		9		3