Tw. K-C xyz: Czy rząd macierzy może być większy od n niewiadomych (w układach równań liniowych) Twierdzenie Kroneckera−Capellego mówi tylko o przypadkach gdzie rząd macierzy jest równy n bądź mniejszy od n, ale nie pisze nigdzie warunku r > n? Czy może taki być? A jeśli nie to czemu bo nie rozumiem.

Milo: Jeśli mamy macierz o rozmiarze mxn, to jej rząd jest niewiększy niż min{m,n}. Wynika to wprost z definicji rzędu macierzy. Rząd macierzy to liczba liniowo niezależnych wierszy. Zatem jeśli mamy m wierszy, to rząd jest ≤m. Z drugiej strony − równoważnie − rząd macierzy to liczba liniowo niezależnych kolumn. Stąd jeśli mamy n kolumn, to rząd ≤n. Jeśli miałeś zdefiniowany rząd jako rozmiar największego niezerowego podwyznacznika (wyznacznika minora), to też jasne, bo taki minor to powstaje poprzez wykreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn. Jest też to zupełnie jasne w stosowaniu − gdy doprowadzasz macierz do postaci schodkowej zredukowanej, to rząd to jest liczba jedynek na przekątnej. Wiadomo, że ich nie może wyjść więcej, niż jest wierszy/kolumn. Bo one pojawiają się w pewnych wierszach i kolumnach właśnie.

xyz: Ojej, dziękuję ślicznie, teraz już wszystko jasne <3