Dowodzenie, help! Desperat: Halko, wykaż, że jeżeli a,b dowolne liczby rzeczywiste takie, że a<b to a³−a²+a<b³−b²+b Kompletnie utknąłem

PW: Nie mam na imię Halka, ale spytam: − Próbowałeś tak: b²−a²<(b³−a³)+(b−a) − to nierówność równoważna.

Adamm: f(x) = x³−x²+x f'(x)=3x²−2x+1 f'(x)>0 więc f jest rosnąca

PW: Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia i podzieleniu obu stron przez (b−a)>0 dostajemy równoważną nierówność (1) b+a<b²+ba+a²+1 Podstawiamy b=ka ka+a<k²a²+ka²+a²+1 (2) 0<(k²+k+1)a²−(k+1)a+1 Ponieważ współcynnik przy a² jest dodatni, zaś Δ=k²+2k+1−4k²−4k−4=−3k²−2k−3<0, nierówność (2) jest prawdziwa dla wszystkich a i k, a więc prawdziwa jest nierówność (1) równoważna badanej nierówności. Strasznie to zagmatwane w porównaniu z metodą Adamma, ale chciałem pokazać, że bez znajomości podstaw rachunku różniczkowego też można było udowodnić.