Kombinatoryka mały problem Ja777: Witam. Mam mała zagwozdkę dotycząca zadań z prawdopodobieństwem. Dla przykładu proste zadanie: z urny zawierającej 7 kul białych i 5 czarnych losujemy dwie kule bez zwracania oblicz prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul czarnych i 1 białej. Podam teraz dwa przykłady rozwiązywania, które zakończą się takim samym i poprawnym wynikiem. Sposób pierwszy liczę

	12 3		5 2
omegę		potem sposoby na wyjęcie kul czarnych		no i jeszcze razy 7 bo tyle jest

kul białych. Teraz drugi sposób omegę liczę już w taki sposób Ω=12*11*10, teraz sposoby na wylosowanie kul czarnych 5*4 i mamy jeszcze 7 kul białych, więc łącznie 5*4*7. Po podstawieniu do wzoru prawdopodobieństwo w obu przykładach jest takie samo. I w innych tego typu zadaniach czy to z losami na loterii czy to z czymś innym oba sposoby dają te same wyniki jednak, który jest ,,poprawniejszy''?

Milo: Oba są całkowicie poprawne. W pierwszym sposobie nie uwzględniasz kolejności wylosowania (tzn. jeśli kule C₁,...,C₅ są czarne, a kule B₁,...,B₇ − białe, to sytuacja, w której wylosujemy kolejno C₁, C₂, B₁ to jest ta sama sytuacja, jak gdybyśmy wylosowali C₂, B₁, C₁) W drugim sposobie uwzględniasz kolejność − tzn. przedstawione wyżej sytuacje już rozróżniasz. Robisz to jednak dobrze, tzn. uwzględniasz to także w Ω.

	12 3		12!		12*11*10
Zauważ, że		=		=
			9!*3!		3!

To dzielenie przez 3! to jest właśnie ignorowanie tego, że losowane kule można permutować. Bardziej matematycznie: w pierwszej sytuacji liczysz, na ile sposób ze wszystkich trzyelementowych podzbiorów zbioru {C₁,...,C₅,B₁,...,B₇} można wybrać podzbiór, w którym będą 2 czarne i jedna biała (zbiór, więc kolejność jest nieważna) A w drugiej sytuacji liczysz, na ile sposobów ze wszystkich trzywyrazowych różnowartościowych ciągów utworzonych z elementów tego zbioru można wybrać ciąg, którego wyrazami będą dwie czarne i jedna biała (ciąg, więc kolejność jest ważna).

iteRacj@: ale z zapisu Ja777 wychodzą inne wyniki

5 2   7 1   *		7
	=
12 3		22

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((5+choose+2)*(7+choose+1))%2F(12+choose+3)

5*4*7		7
	=
12*11*10		66

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(5*4*7)%2F(12*11*10) tutaj brakuje podzielenia przez ilość otrzymanych ciągów

iteRacj@: * oczywiście nie podzielenia

Milo: Racja. Gdyby konsekwentnie trzymać się tej metody z rozróżnianiem sytuacji, to w drugim przypadku powinniśmy liczyć liczbę zdarzeń sprzyjających jako 5*4*7 + 5*7*4 + 7*5*4 (rozróżniać kolejność wyjmowania kul), czyli właśnie 5*4*7*3, co "poprawiłoby" wynik.

PW: Zgodny z rzeczywistym działaniem jest opis zbioru zdarzeń elementarnych Ω jako zbioru wszystkich możliwych dwuelementowych podzbiorów zbioru 12−elementowego. Nie układamy wylosowanych kul w kolejności, co byłoby zresztą trudne w opisie − kule tego samego koloru są nierozróżnialne, musielibyśmy je ponumerować. Dlatego

	12 2
|Ω|=		.

	12 3
Tylko nie pisz "liczę omegę		", bo to żargon.

Swoją drogą podziwiam Kolegów pomagających rozwiązać zadanie bez sensu. Jak to − losujemy dwie kule,a liczymy prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czarnych i jednej białej?

Ja777: Dziękuję za odpowiedzi i przepraszam za błąd w zadaniu oczywiście 3 kule losujemy. Rzeczywiście kule są nierozróżnialne i w takim przypadku poprawniejszy jest pierwszy sposób z kombinacjami, ale np. takie samo zadanie tylko, że kule zamieniamy na losy wygrywające i przegrywające, które losują 3 osoby A, B i C, w takim przypadku chyba lepiej uwzględnić kolejność bo jest różnica czy los wygrywający wylosuje osoba A czy to osoba B, dobrze myślę?

iteRacj@: O wyborze sposobu z wariacjami czy z kombinacjami decyduje pytanie (polecenie) w zadaniu. Zawsze starannie je czytaj. Jeśli masz ustalić jedynie, jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch losów wygrywających i jednego przegrywającego, to nie ma znaczenia w jakiej kolejności i kto je wylosował (zbiór). Jeśli masz ustalić prawdopodobieństwo wylosowania jako pierwszych dwóch losów wygrywających, a potem przegrywającego, to kolejność oczywiście ma znaczenie i analizujesz ciągi. Spróbuj zapisać rozwiązania do obu tych poleceń przy Twoich danych, to jaśniejsze będzie to, co napisałam.

Jerzy: Można i tak, i tak, ale konsekwentnie ( ważna kolejność,albo nie)

iteRacj@: czyli mój przykład niestety nie pokazuje tego, co chciałam wytłumaczyć : (