matematykaszkolna.pl
zadanie maturalne Misia32: Wykaż że wyrażenie 103+1032+1033+...+10318 jest podzielne przez 10712
22 wrz 21:24
PW: Wskazówka: 103+1032=10712.
22 wrz 21:28
Mariusz: To już sumy skończonego ciągu geometrycznego nie mają ?
22 wrz 21:33
PW: Ale skorzystanie z wzoru na sumę tylko komplikuje dowód.
22 wrz 21:38
Mariusz: Można pokazać indukcyjnie że 10712|S2n a wtedy ten wzór na sumę się przydaje
 1−103n 
Sn=103
 1−103 
 103 
Sn=
(103n−1)
 102 
Przypadek początkowy który jest spełniony podał PW Założenie indukcyjne Dla pewnego n=k 10712|S2k Korzystając z tezy indukcyjnej sprawdzamy jej poprawność dla następnika
 103 
S2k=
(1032k−1)
 102 
 103 
S2k+2=
(1032k+2−1)
 102 
 103 
S2k+2=
(10609*1032k−1)
 102 
 103 103 
S2k+2=
10609*1032k −
 102 102 
 103 103 10608*103 
S2k+2= 10609(
1032k −
)+
 102 102 102 
 103 103 (10609−1)*103 
S2k+2= 10609(
1032k −
)+
 102 102 102 
 103 103 (103−1)(103+1)*103 
S2k+2= 10609(
1032k −
)+
 102 102 102 
 103 103 102*104*103 
S2k+2= 10609(
1032k −
)+
 102 102 102 
 103 103 
S2k+2= 10609(
1032k −
)+104*103
 102 102 
 103 103 
S2k+2= 10609(
1032k −
)+10712
 102 102 
S2k+2=10609S2n+10712 S2n jest podzielne z tezy indukcyjnej zatem S2k+2 jest podzielne przez 10712 jako suma dwóch składników podzielnych przez 10712 Zatem z indukcji mamy że 10712|S2n
22 wrz 22:19
PW: Mariusz, jesteś mistrzem komplikowania sobie życia, a może masz intencję wystraszenia uczniów. Z zadania dla ucznia 6 klasy, do udowodnienia w dwóch linijkach, zrobiłeś mądry wywód, którego nie chce się czytać.
23 wrz 10:54
Mariusz: Jak ja chodziłem do szkoły to indukcja jeszcze była w średniej
23 wrz 12:26
Eta: Grupujesz po dwa wyrazy i wyłączamy 103 103(1+103)+1033(1+103) +......... +10317(1+103)= (1+103)(103+1033+............ +10317 = i wyłączamy (1+103)*103 (1+103)*103*(1+1032+............ +10316)= 104*103=10 712 zatem taka liczba jest podzielna przez 10 712
23 wrz 20:33