Transformata Laplace Minotaur: x'' + x' = 2 >>>>>>>>> x(0) = 0 , x'(0) = 0 L[x''] + L[x'] = 2 s ² L[x] − s*x(0)−x'(0) + sL[x] − x(0) = 2 L[x](s ² +s) = 2 Co dalej?

Adamm:

	2		1		1
L[x](s) =		=		−
	s2+s		s		s+1

x = 1−e^−t

Minotaur: Dlaczego jest minus pomiędzy 1/s a 1/s+1 1/s = 1 , to ze wzoru e⁻t to skąd?

kerajs:

2		2+2s−2s		2s+2		−2s		2		−2
	=		=		+		=		+
s(s+1)		s(s+1)		s(s+1)		s(s+1)		s		s+1

Jednak nie będzie to dobry wynik gdyż juz początek jest do bani: x'' + x' = 2 >>>>>>>>> x(0) = 0 , x'(0) = 0 L[x''] + L[x'] = L[2]

	2
( s2 L[x] − s*x(0)−x'(0) )+( sL[x] − x(0) )=
	s

Minotaur: L[x](s² + s) = ²_s I co dalej? Serio nie mam pomysłu

kerajs:

	2
L(x)=
	s2(s+1)

Liczysz po residuach lub rozkładasz na ułamki proste:

	A		B		C
L(x)=		+		+
	s		s2		s+1

a wtedy wyznaczasz wpierw współczynniki A,B,C i stosujesz transformaty odwrotne znanych ci funkcji.

Mariusz: Z tym że te ułamki proste powinny być zespolone tj mianownik zawsze rozkładasz na czynniki liniowe nawet gdy rozkład mianownika na czynniki nad rzeczywistymi zawiera trójmiany kwadratowe nierozkładalne

	Γ(n+1)
L(tn)=
	sn+1

	1
L(eat)=
	s − a

Mariusz: Dlaczego rozkład na sumę ułamków prostych działa ? Przekształcenie Laplace jest liniowe wynika to z liniowości całki oznaczonej a przekształcenie Laplace jest całką oznaczoną niewłaściwą

kerajs: Mam inne zdanie co do trójmianów o ujemnej delcie. Można je rozkładać lub nie (skoro znane są transformaty odwrotne z ułamków prostych o mianowniku z trójmianem który nie ma pierwiastków rzeczywistych)

Mariusz: Tak a co jeśli mianownik będzie miał wielokrotne pierwiastki zespolone ? W przypadku rozkładu nad rzeczywistymi musisz jeszcze korzystać ze splotu czy z różniczkowania obrazu a w przypadku rozkładu zespolonego odwracasz od razu po dokonaniu rozkładu Rozkład nad rzeczywistymi ma tyle samo współczynników co rozkład nad zespolonymi

kerajs: Jeśli mianownik będzie miał wielokrotne pierwiastki zespolone to można zastosować wzorki transformat odwrotnych z ułamków o mianownikach z potęgami trójmianów nierozkładalnych nad R. Jednak dla autora tematu nasze dywagacje mają na razie żadnego znaczenia skoro wpierw musi opanować łatwiejsze przykłady. Tutaj wynik to: y=2e^−t+2x−2

kerajs: Szkoda ze nie ma opcji edytowania postu. Prawidłowy wynik to: x=2e^−t+2t−2 o ile x=x(t)

Mariusz: Ciekawe jakie to wzorki ? Gdy mianownik posiada wielokrotne pierwiastki zespolone przekształcenie odwrotne będzie postaci P₁(t)e^Re(λ)tcos(Im(λ)t)+P₂(t)e^Re(λ)tsin(Im(λ)t) gdzie P₁(t) oraz P₂(t) to wielomiany oraz deg P₁(t)=n−1 , deg P₂(t)=n−1 czyli co aby odwrócić ten "ułamek prosty" potrzebujemy dodatkowych współczynników poza tym aby wygenerować t^ke^Re(λ)tcos(Im(λ)t) oraz t^ke^Re(λ)tsin(Im(λ)t) różniczkujemy obraz Korzystanie ze splotu to wielokrotne liczenie całek zatem wygodniej będzie rozkładać nad zespolonymi

kerajs: Przykładowe wzorki:

	2a(a−3s2)
L−1[		]=t2sin at
	(s2+a2)3

	(s+a)2−b2
L−1[		]=te−atcos bt
	((s+a)2+b2)2

Mariusz: No tak ale chodzi mi o ogólny wzorek

A(s−a)+B
((s−a)2+b2)n

To jest ułamek prosty Jak byś odwrócił transformatę Laplace tego ułamka Kiedyś próbowałem wyprowadzić wzorek na n. pochodną

	Ax+B
ułamka prostego
	x2+px+q

ale bez zesplonych obliczenia się komplikowały

Minotaur: ²_s(s+1) = ^A_s + ^B_s² + ^C_s+1 Pomnożyłem to żeby po lewej stronie mieć samo 2 i wyszło coś takiego: 2 = 2 As² + Bs + B + Cs² 0 = 2A + C 0 = B 2 = B I tutaj jest zaprzeczenie...

Adamm: 2 = As(s+1)+B(s+1)+Cs²

Adamm: 0 = A+C 0 = A+B 2 = B