obl ola: Mamy dany wielomian f=2x³−3x²−3x+2 . Ile ten wielomian ma pierwiastków w przedziale (0,1)

Adamm: f(−∞) = −∞ f(0) = 2 f(1) = −2 f(∞) = ∞ ma po co najmniej jednym pierwiastku w przedziałach (−∞, 0), (0, 1), (1, ∞) oczywiście może mieć tylko 3, więc po jednym w każdym przedziale

Jerzy: Albo ... na podstawie tw. Darboux ma jeden i teraz sprawdzasz czy me ekstremum lokalne w tym przedziale.

Jerzy: Adamm ....raczej granice ( wiem,że to twój skrót myślowy, ale młodzież się uczy)

PW: Można też trzykrotnie zastosować tw. Darboux. W przedziale (0, 1) już sprawdzono, potem sprawdzić w przedziale (1, 2) i w jakimś przedziale (−a, 0) dla a>0. Jeżeli to się uda, mamy pewność że są dokładnie 3 pierwiastki − po jednym w każdym z przedziałów.

jc: Sugerowałbym jednak nazwę tw. Bolzano. Tw. Darboux dotyczy pochchodnych. https://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem

ola: Czyli jak to zrobić na podstawie Darboux ? f(0)*f(1)=2*(−2)= −4 < 0 więc wiem , że pierwiastek istnieje i jak go wyznaczyć ?

Adamm: f(−∞) = −∞ ⇒ istnieje x<0 taki że f(x)<0 f(∞) = ∞ ⇒ istnieje y>0 taki że f(y)>0 ja też zastosowałem twierdzenie Darboux, zauważ pierwiastka nie trzeba wyznaczać, wystarczy że istnieje

PW: olu, nie masz wyznaczyć pierwiastek, lecz udowodnić, że jest w podanym przedziale tylko jeden. Co najmniej jeden jest. Keżeli pokażesz, że sa jescze dwa inne, ale w przedziałach leżących poza (0, 1), to koniec (wiecej niż trzy nie mogą być, a więc w (0, 1) jest dokładnie jeden).

Adamm: f(∞) = ∞ ⇒ istnieje y>1 taki że f(y)>0

Jerzy: @ola , a kto cię pyta o wartość pierwiatków ?

ICSP: 2x³ − 3x² − 3x + 2 = 2(x³ + 1) − 3x(x+1) = (x+1)[2x² − 2x + 2 − 3x] = (x+1)(2x² − 5x + 2) = (x+1)(2x−1)(x − 2)