Całka nieoznaczona Delcik: Witam wszystkich! Pomoże mi ktoś rozwiązać krok po kroku poniższe zadanie z całki nieoznaczonej? Pozdrawiam i dziękuję z góry! Oblicz całkę nieoznaczoną:

	x − 2
∫		dx
	(x − 1)(x + 2)2

Adamm: pierwszy krok

x−2		A		B		C
	=		+		+
(x−1)(x+2)2		x−1		x+2		(x+2)2

Delcik: Policzyłem! Udało się <3

Mariusz: Można jeszcze innym sposobem

	x−2		A		Bx+C
∫		dx =		+∫		dx
	(x−1)(x+2)2		x+2		(x−1)(x+2)

x−2		A		Bx+C
	= −		+
(x−1)(x+2)2		(x+2)2		(x−1)(x+2)

x−2		−A(x−1)+(Bx+C)(x+2)
	=
(x−1)(x+2)2		(x−1)(x+2)2

x−2 = −A(x−1)+(Bx+C)(x+2) x−2 = −A(x−1)+Bx(x+2)+C(x+2) x−2 =Bx²+(−A+2B+C)x+A+2C B=0 −A+2B+C = 1 A+2C = −2 B=0 −A+C = 1 A+2C = −2 3C = −1 3A = −4

	x−2		4	1		1		1
∫		dx =−			−		∫		dx
	(x−1)(x+2)2		3	x+2		3		(x−1)(x+2)

	x−2		4	1		1		(x−1)−(x+2)
∫		dx =−			+		∫		dx
	(x−1)(x+2)2		3	x+2		9		(x−1)(x+2)

	x−2		4	1		1		dx		dx
∫		dx =−			+		(∫		−∫		)
	(x−1)(x+2)2		3	x+2		9		x+2		x−1

	x−2		4	1		1		x+2
∫		dx =−			+		ln|		|+C
	(x−1)(x+2)2		3	x+2		9		x−1

Uwagi o tym sposobie Jeśli masz całkę z funkcji wymiernej właściwej gdzie mianownik posiada pierwiastki wielokrotne to

	P(x)		P1(x)		P2(x)
∫		=		+∫		dx
	Q(x)		Q1(x)		Q2(x)

Mianownik Q₂(x) posiada te same pierwiastki co Q(x) tyle że są one jednokrotne Dodatkowo wiemy że Q(x) = Q₁(x)Q₂(x) Mianowniki Q₁(x) oraz Q₂(x) można też znaleźć bez rozkładu mianownika Q(x) na czynniki obliczając NWD(Q(x),Q'(x)) biorąc reszty z kolejnych dzieleń Wiedząc że deg P₁(x) < deg Q₁(x) oraz deg P₂(x) < deg Q₂(x) liczniki P₁(x) oraz P₂(x) znajdujemy metodą współczynników nieoznaczonych