Uzasadnij, że równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie. Beata: a) x³ − x² + x + 1 = 0 b) x⁴ + 2x³ = 4 Niby wiem co ogólnie robić: napisać w(x) i pod x podstawiac jakies liczby, ale nie wiem kiedy przestać i o co chodzi z tymi przedziałami

PW: Twierdzenie Darboux. Masz pokazać, że istnieją liczby a i b, dla których w(a) < 0 < w(b) − na jednym krańcu przedziału [a, b] wartość wielomianu jest dodatnia, a na drugim ujemna. Wtedy "gdzieś w przedziale (a, b)" wielomian przyjmuje wartość 0. Twoja intuicja i cierpliwość w rachunkach mają wskazać te liczby a i b, każdy rozwiązujący może wskazać inne.

Mila: 1) x³ − x² + x + 1 = 0 w(x)=x³−x²+x+1 w(0)=1>0 w(−1)=−1−1−1+1<0 W(x) jest funkcją ciągłą⇔istnieje takie c∊(−1,0) dla którego w(c)=0 (Własność Darboux ) https://pl.wikipedia.org/wiki/W%C5%82asno%C5%9B%C4%87_Darboux 2) x⁴ + 2x³ = 4 w(x)=x⁴+2x³−4 w(0)=−4<0 w(1)=1+2−4<0 dalej szukamy w(2)=16+16−4>0 W(x) jest funkcją ciągłą⇔istnieje takie c∊(1,2) dla którego w(c)=0

Jerzy: Ad: 21:32......pod warunkiem,że funkcja jest ciągła.

PW: Zakładam znajomość ciągłości wielomianów.