Potrzebuje pomocy w równaniach różniczkowych mama dwa zadania. Sylwia: 1. y'' +4y=tg2x 2. y'+2xy= − e^x2 y² sin⁴ x to co jest w klamrach to jest potęga

jc: y'' + 4y = 0 baza: cos 2x, sin 2x I teraz możemy stosować metodę uzmienniania stałych A' cos 2x + B' sin 2x = 0 − A' sin 2x + B' cos 2x = (tg 2x)/2 B' = (tg 2x cos 2x)/2 = (sin 2x)/2, B= −(cos 2x)/4 + b

	1
A' = −(tg 2x sin 2x)/2 = − sin22x / cos 2x /4 =		(− 1/cos 2x + cos 2x)
	4

	1		1		1 + sin 2x
A = a +		sin 2x +		ln		lub coś podobnego
	4		8		1− sin 2x

	cos 2x		1		1 + sin 2x
A=				ln		+ a cos 2x + b sin 2x
	8		8		1− sin 2x

jc: Na końcu nie A= , tylko y = A cos 2x + B sin 2x = .... gdzie A i B są wcześniej znalezionymi funkcjami.

Mariusz: A to drugie to jest to równanie Bernoulliego Jeśli lubimy czynnik całkujący to jest on o rozdzielonych zmiennych μ(x,y)=φ(x)ψ(y)

δ μP		δ μQ
	=
δy		δ x

δ φ(x)ψ(y)P(x,y)		δ φ(x)ψ(y)Q(x,y)
	=
δ y		δ x

	d		δ P(x,y)
φ(x)		ψ(y)P(x,y)+φ(x)ψ(y)		=
	dy		δ y

	d		δ Q(x,y)
ψ(y)		φ(x)Q(x,y)+φ(x)ψ(y)
	dx		δ x

	δ P(x,y)		δ Q(x,y)
φ(x)ψ(y)		−φ(x)ψ(y)		=
	δ y		δ x

	d		d
ψ(y)		φ(x)Q(x,y)−φ(x)		ψ(y)P(x,y)
	dx		dy

	δ P(x,y)		δ Q(x,y)
φ(x)ψ(y)(		−		)=
	δ y		δ x

	d		d
ψ(y)		φ(x)Q(x,y)−φ(x)		ψ(y)P(x,y)
	dx		dy

δ P(x,y)		δ Q(x,y)
	−		=
δ y		δ x

d		1		d		1
	φ(x)		Q(x,y)−		ψ(y)		P(x,y)
dx		φ(x)		dy		ψ(y)

Niech

d		1
	φ(x)		=f(x)
dx		φ(x)

d		1
	ψ(y)		=g(y)
dy		ψ(y)

1
	dφ = f(x)dx
φ

1
	dψ = g(y)dy
ψ

Nasz warunek na czynnik całkujący o rozdzielonych zmiennych przybierze postać

δ P(x,y)		δ Q(x,y)
	−		=f(x)Q(x,y)−g(y)P(x,y)
δ y		δ x

Równanie Bernoulliego posiada takowy y'+p(x)y=q(x)y^r y'+(p(x)y−q(x)y^r)=0

dy
	+(p(x)y−q(x)yr)=0
dx

(p(x)y−q(x)y^r)dx+dy=0 P(x,y) = (p(x)y−q(x)y^r) Q(x,y) = 1

δ P(x,y)
	= p(x)−rq(x)yr−1
δ y

δ Q(x,y)
	= 0
δ x

p(x)−rq(x)y^r−1 = f(x) − g(y)(p(x)y−q(x)y^r) Niech f(x) = Ap(x)

	B
g(y) =
	y

	B
p(x)−rq(x)yr−1 = Ap(x) −		(p(x)y−q(x)yr)
	y

p(x)−rq(x)y^r−1 = Ap(x)−Bp(x)+Bq(x)y^r−1 p(x)−rq(x)y^r−1 = (A−B)p(x)+Bq(x)y^r−1 A−B = 1 B = −r A = 1 − r B = −r f(x) = (1−r)p(x)

	−r
g(y) =
	y

1
	dφ = f(x)dx
φ

1
	dψ = g(y)dy
ψ

1
	dφ = (1−r)p(x)dx
φ

1		−r
	dψ =		dy
ψ		y

ln|φ| =(1−r)∫p(x)dx φ(x) = e^{(1−r)∫p(x)dx} ln|ψ| = −rln|y| ψ(y) = y^−r μ(x,y)=φ(x)ψ(y) μ(x,y)= e^{(1−r)∫p(x)dx} y^−r

Jerzy: 2) Podstawienie: u = y⁻¹ ; u' = − y⁻²*y' prowadzi do równania liniowego niejodnorodnego: u' − 2xu = − e^x2*sin⁴x

Mariusz: Wiem , chciałem pokazać jak je można policzyć czynnikiem całkującym Przy okazji wyprowadziłem go dla przypadku gdy ma on postać rozdzielonych zmiennych Jeśli chodzi o całkowanie równań liniowych czynnikiem całkującym to nie uogólnia się ono na równania wyższych rzędów jednak niektórzy pomimo to lubią go stosować Po tym jak pomnożymy równanie przez znaleziony czynnik całkujący dość łatwo zauważymy że jedna strona równania przybierze postać pochodnej iloczynu