Macierze obrotu. MrsHoney: Witam, czy jest ktoś w stanie wytłumaczyć jak zapisywać macierze obrotu. Wokół osi x, y, z nie mam żadnych problemów. Pojawią się jeżeli mam zapisać macierz obrotu wokół innej osi. przykładowo Mam obrót o 180 stopni wokół osi [110] macierz wygląda tak: 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 a obrót o 180 stopni wokół osi [1−10] tak: 0 −1 0 −1 0 0 0 0 −1 Dlaczego tak ?

jc: [0 1 0] [−1 0 0] [0 0 1] to obrót o 90^o w okół osi [0 0 1] Obrót o 180^o względem osi [1 1 0] ma macierz: [0 1 0] [1 0 0] [0 0 −1] Obrót o 180^o wokół osi [1 −1 0] ma macierz [0 −1 0] [−1 0 0] [0 0 −1]

MrsHoney: A czy mogłabym prosić jeszcze o wytłumaczenie dlaczego tak ?

MrsHoney: I obrót wokół osi 001 o 90 stopni nie powinien wyglądać tak ?: 0 −1 0 1 0 0 0 0 1

jc: Rzecz nieco umowna. Po czym odróżnisz obrót w lewo od obrotu w prawo?

jc: Twoja macierz jest lepsza Przynajmniej zgodna z umową przyjętą na płaszczyźnie.

jc: Można napisać ogólny wzór i podstawiać. W przypadkach, które opisałeś łatwiej od razu pisać przekszatałcenie. A jaki obrót reprezentuje macierz [0 1 0] [0 0 1] ? [1 0 0] Znajdź oś i kąt obrotu.

MrsHoney: 120 stopni wokół osi [110] ?

MrsHoney: Pomoże ktoś jeszcze dzisiaj? Skąd mam wiedzieć, że akurat obrót o 180 stopni wokół osi [1 −1 0]wygląda tak: 0 −1 0 −1 0 0 0 0 −1

jc: Narysuj sobie obrazek i oczytan, na co przechodzi wektor (x,y,z) lub po kolei na co przechodzą wektory bazowe (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Przy okazji, wektor wyznaczający oś jest wektorem własnym z wartością własną = 1. Co do mojego zadania, to faktycznie obrót o 120^o, ale względem osi [1,1,1].

MrsHoney: tak czy siak totalnie nie wiem o co chodzi. Nie ma wzorów na to jak w przypadku (100) 001, 010 ? https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e4eef2e92c985dc4432fe811d0f589394fd562

jc: n=(n₁, n₂, n₂) oś obrotu, n²=1, a = kąt obrotu [n₁² + (n₂²+n₃²)cos a, n₁²n₂(1−cos a) − n₃sin a, n₁n₃(1−cos a) + n₃sin a] [n₁n₂(1−cos a) + n₃sin a, n₂²+(n₁²+n₃²)cos a, n₂n₃(1−cos a) − n₁ sin a ] [n₁n₃(1−cos a) − n₂ sin a, n₂n₃(1−cos a) + n₁sina a, n₃²+(n₁²+n₂²) cos a] Pisałem, że wzór jest skomplikowany.

MrsHoney: No rzeczywiście korzystanie z tego wzoru byłoby niezłą stratą czasu.

jc: Drugi wyraz w pierwszej linii: n₁n₂(1−cos a) − n₃sin a Spróbujmy. Oś [1,−1,0], a = 180 [n₁,n₂,n₃] = [1/√2, −1/√2, 0] 1/2 − 1/2 = 0, −1/2 (1+1) − 0=−1, 0+0=0 itd Teraz odkryłwm, że trzeci wyraz w pierwszym wierszu też jest źle napisany, powinno być ... +n₂sin a.