Udowadnianie iniekcji/surjekcji złożeń funkcji kuapuchy: 1. Udowodnij, że jeśli funkcje f(x) i g(x) są surjekcjami, to ich złożenie też jest surjekcją. Czy zachodzi sytuacja odwrotna? 2. Udowodnij, że jeśli funkcje f(x) i g(x) są iniekcjami, to ich złożenie też jest iniekcją. Czy zachodzi sytuacja odwrotna?

Milo: 1. Rozumiem, że f: X → Y i g: Y → Z Weźmy dowolne z∊Z. g jest na Z, więc istnieje y∊Y taki, że z = g(y). f jest na Y, więc istnieje x∊X taki, że y = f(x) Wtedy z = g(y) = g(f(x)), co kończy dowód. Czy zachodzi sytuacja odwrotna? Niekoniecznie. Niech X = {x}, Y = {y₁,y₂} i Z = {z} Definiujemy f: f(x) = y₁ Definiujemy g: g(y₁) = g(y₂) = z Widać, że f nie jest na Y, ale złożenie f i g przeprowadza X = {x} na Z = {z}, więc jest na Z. 2. Weźmy x₁, x₂ ∊ X − różne. f jest iniekcją, więc f(x₁) ≠ f(x₂) g jest iniekcją, więc g(f(x₁)) ≠ g(f(x₂)) i już. Czy zachodzi sytuacja odwrotna? Nie − działa ten sam przykład. Złożenie przeprowadza {x} na {z} więc jest różnowartościowe (bo w dziedzinie w ogóle nie ma 2 elementów), ale g iniekcją nie jest, bo g(y₁) = g(y₂) = z.

kuapuchy: Dziękuję! A jak wygląda to w przypadku bijekcji? Przedstawiam te dwa dowody, czy powinnam zrobić to inaczej?