Oblicz zbiór wartości funkcji fns:

	π		π
f(x) = tan(x) + cot(x) −−> x należy do <		,		>
	6		3

obliczyłem wartość funkcji na krańcach przedziału, ale nie wiem jak znaleść drugą część przedziału zbioru wartości. jest to zadanie z liceum, więc odpada liczenie pochodej tej funkcji i szukanie ekstremum.

Adamm: u=tg(x)

	1
f(u) = u+
	u

skoro x∊[π/6, π/3], to u∊[√3/3, √3] zadanie zostało sprowadzone to prostszego zadania

Adamm: do*

the foxi:

	1
f(x)=tan(x)+		≥2 dla tan(x)>0, przy czym równość zachodzi dla x=1
	tan(x)

π		π
	≈0.52,		≈1.05
6		3

x=1 należy do przedziału, zatem najmniejsza wartość jest równa 2

	π		π
a największa? wybierz większą spośród		i
	6		3

the foxi: można też tak, ale funkcji cosecans nie ma w liceum:

	sin(x)		cos(x)		1
f(x)=		+		=		=
	cos(x)		sin(x)		sin(x)cos(x)

	1		2
=2*		=		=2csc(2x)
	2sin(x)cos(x)		sin(2x)

	π
dla x∊(0;		) mamy csc2x∊[1;+∞)
	2

więc 2csc(2x)∊[2;+∞) zatem minimum to 2, a największa to jedna z wartości skrajnych z podanego przedziału

fns: @the foxi: czemu tan(x) + cot(x) ≥ 2

Adamm: @foxi z nierówności nie wynika że gdy x=π/3 lub gdy x=π/6 mamy wartość najmniejszą

Adamm: największą*

the foxi: fns: jedna z nierówności, które warto znać (x−1)²≥0 x²−2x+1≥0 x²+1≥2x |dzielimy obie strony przez dodatni x

	1
x+		≥2 dla x>0
	x

Adamm: hmm, faktycznie, wzorowałem się na wykresie tej funkcji, ale masz rację aczkolwiek wartość najmniejsza jest jednak równa 2

Adamm: wystarczy zauważyć że dla u≥1 funkcja rośnie gdy u≥v≥1

	(v−u)(1−uv)
f(u) − f(v) =		≥0
	uv

skoro f(u) dla u≥1 rośnie, to f(u) dla 0<u≤1 musi maleć widać to gdy zastąpimy f(u) przez f(1/u)

Adamm: powinienem zastąpić f(u) czymś w rodzaju f^*(u) oznaczenia mogą być mylące, nie powinno się tak robić

Mila:

	sin2x+cosx		π		π
f(x)=		i x∊<		,		>
	sinx*cosx		6		3

	2
f(x)=
	sin(2x)

	π
W przedziale (0,		) funkcja
	2

	π		π		π
y=sin(2x) ma największą wartość dla x=		∊<		,		>
	4		6		3

	π
sin(2*		)=1
	4

	π
f(		)=2 − najmniejsza wartość f(x)
	4

	π		2		2		4
f(		)=		=		=
	6		π   sin(2*   6		π   sin   3		√3

	π		2		2		4
f(		)=		=		=		największa wartość f(x) dla x∊D
	3		2π   sin   3		π   sin   3		√3