Granica funkcji wielu zmiennych - definicja Heinego puszka_malutka: Na podstawie definicji Heinego obliczyć granicę funkcji lub wykazać, że dana granica nie istnieje.

	1 − cos (x2 + y2)
lim(x,y)→(0,0) =
	(x2 +y2)2

Definicję Heinego znam, jednak przy podstawieniach wychodzi mi dzielenie przez zero. Ponoć tą funkcję należy zapisać w inny sposób − za pomocą podstawienia "t". Czy ktoś mógłby mi coś podpowiedzieć, jak miałoby coś takiego wyglądać? A w tej funkcji:

	π(x2+y2)
lim(x,y)→(0,0) =
	√x2+y2+π2 − π

	√x2+y2+π2 + π
Należy przemnożyć wszystko przez		żeby ogarnąć ułamek?
	√x2+y2+π2 + π

Z góry dziękuję za wszelkie podpowiedzi.

Adamm: weźmy dowolny ciąg (x_n, y_n) ≠ (0, 0)

	1−cos(xn2+yn2)
f(xn, yn) =
	(xn2+yn2)2

u_n = x_n²+y_n² → 0

1−cos(un)
un2

poradzisz sobie z tą granicą?

Adamm: druga tak samo, tak naprawdę granica jednej zmiennej u = x²+y²

	πu
lim(x, y)→(0, 0) f = limu→0
	√u+π2−π

grzest: Innym, dobrym sposobem obliczenia tej granicy jest wprowadzenie współrzędnych biegunowuch: x=rcos φ y=rsin φ. Mamy

	1−cos(x2+y2)
lim(x,y)→(0,0)		=
	(x2+y2)2

	1−cos(r2)		2rsin r2		1
=lim(x,y)→(0,0)		=H=lim(x,y)→(0,0)		=		.
	r4		4r3		2

Granica ta nie zależy od kąta φ, nie zależy więc od drogi po której zbiega (x,y) do (0,0). Wynika stąd, że granica istnieje i równa się 1/2.

puszka_malutka: Dziękuję za podpowiedź co do pierwszej.

	1− cos x		1
Poradziłam sobie z granicą z cosinusem ze wzoru		=
	x2		2

Ten drugi sposób też jest bardzo ciekawy, choć jeszcze nie umiem współrzędnych biegunowych na tyle, by to ogarnąć. Biorę się już za drugi przykład do przeliczenia.

puszka_malutka: Co do drugiego, wyszło mi tak: https://zapodaj.net/756fc39ccfb9b.jpg.html Wrzucam foto, bo juz troche nie mam sily reczne tego wpisywac, a bardzo zalezy mi na spojrzeniu, czy jest poprawnie.

Adamm: Z jednej strony dobrze, ale z drugiej, gubisz "lim", czyli znak granicy. Tak być nie powinno

puszka_malutka: Rozumiem, bardzo dziękuję za sugestię. Postaram się jak najbardziej pamiętać o znaku granicy, szczególnie na pracach pisemnych.

grzest: @puszka malutka: W rozwiązaniu zadania drugiego, oprócz słusznej uwagi Adamma o opuszczonym znaku granicy, masz błąd w przedostatniej linijce rozwiązania (opuszczony nawias). Wynik powinien być 2π².