| x2 | x2−1+1 | x2−1 | 1 | (x−1)(x+1) | 1 | ||||||
= | = | + | = | + | = | ||||||
| x−1 | x−1 | x−1 | x−1 | x−1 | x−1 |
| 1 | ||
x+1 + | ||
| x−1 |
| x6+128 | ||
Wykazać, że jeśli x∊R\{0} to | ≥24 | |
| 2x2 |
| x4 +64/x2 + 64/x2 | |
≥ [x4 (64/x2) (64/x2) ]1/3 = 16 | |
| 3 |
| x6+ 128 | |
≥ 16 | |
| 3x2 |
| x6+ 128 | |
≥ 24 | |
| 2x2 |
z am−gm
| x6+64+64 | |
≥ 3√x6*64*64= 16x2 /*3 | |
| 3 |
| x6+128 | |
≥24 | |
| 2x2 |
Nierówność jest równoważna następującej:
(1) x6−48x2+128≥0, x≠0,
a po podstawieniu x2=t, t>0
t3−48t+128≥0.
Widać, że t0=−8 jest pierwiastkiiem wielomianu, a więc
(t+8)(t2−8t+16)≥0.
Dla t>0 nierówność jest równoważna nierówności
t2−8t+16≥0
(t−4)2≥0
prawdziwej dla wszystkich t.
Nierówność (1) jest więc prawdziwa dla wszystkich x≠0, co należało wykazać.