Wyznaczanie zbioru wartości funkcji - 4 przykłady the foxi: cześć, mam pytanie, czy sposób który stosuję do wyznaczania zbioru wartości ma sens i jakie błędy popełniam (bo jest ich na pewno sporo, przynajmniej jakieś małe niedogodności). f(x)=1−sin²2x −1≤sin2x≤1 0≤sin²2x≤1 (tutaj podnoszę do kwadratu, więc skoro niektóre wartości były mniejsze od zera, automatycznie "ustawiam" najmniejszą wartość na 0) 0≥−sin²2x≥−1 (pomnożenie przez −1, raczej uzasadnione) 1≥1−sin²2x≥0 f(x)∊[0;1] i to się zgadza, tylko czy jakieś przekształcenia były nieuzasadnione/jakiś inny błąd zrobiłem?

	1
g(x)=
	1−tg2x

−∞<tgx<+∞ 0≤tg²x<+∞ (tak samo jak w pierwszym przykładzie, jest to uzasadnione?) 0≥−tg²x>−∞ 1≥1−tg²x>−∞

	1
1≤		<0 (biorę odwrotności, zatem zmieniam też zwroty nierówności − ale czy zamiana
	1−tg2x

−/+∞ na 0 to poprawny zapis?) f(x)∊(−∞;0)∪[1;+∞] też jest dobrze h(x)=√log₂(tg3x) −∞<tg3x<+∞ −∞<log₂(tg3x)<+∞ (nałożenie logarytmu na wszystkie wyrażenia, można tak? wiem oczywiście, kiedy zmienić zwroty w przypadku logarytmu) 0≤√log₂(tg3x)<+∞ (pierwiastkowanie, takie "skrócenie" zbioru wartości − to też ma sens?) h(x)∊[0;+∞) pasuje

	1
i(x)=exp(		)−5
	x+2

−∞<x+2<+∞

	1
0>		>0
	x+2

	1
exp(0)>exp(		)>exp(0)
	x+2

	1
1>exp(		)>1
	x+2

	1
−4>exp(		)−5>−4
	x+2

i(x)∊ℛ\{−4} i tutaj coś nie gra, według odpowiedzi zbiór wartości to Y=(−5;+∞), natomiast Wolfram mówi, że Y=(−5;−4)∪(−4;+∞) co robię nie tak w poszczególnych przykładach? proszę o jakiekolwiek porady.

the foxi: oczywiście f(x)=1−sin²(2x), niedopatrzenie

Adamm: pierwsze ok drugie ok do momentu gdy z 1≥1−tg²x>−∞ przechodzisz do 1/(1−tg²x) trzecie, można o ile tg3x>0, co powinna załatwić dziedzina czwarte −∞<x+2<∞ dobrze, 0<1/(x+2)<0 źle

the foxi: dziękuję za odpowiedź, tak więc co złego jest w przejściu z drugie: 1≥1−tg²x>−∞ do odwrotności? czwarte: jak w takim razie podejść do tego przykładu?

Adamm: ok, co jest złego 1≥ 1−tg²x>0 lub 1−tg²x=0 lub 0>1−tg²x w pierwszym przypadku

1
	≥1
1−tg2x

w drugim przypadku, nie możemy odwrócić w trzecim przypadku

	1
0>
	1−tg2x

skąd z. w. to (−∞, 0)∪[1, ∞) z. w. 1/(x+2) to po prostu R\{0} więc zbiór wartości exp(1/(x+2)) to (0, 1)∪(1, ∞) zbiór wartości naszej funkcji to (−5, −4)∪(−4, ∞)

Adamm: nie lubię się rozpisywać, więc pytaj jak nie rozumiesz

Adamm: jak masz jakieś złożenie funkcji, to szukanie zbioru wartości f(g(x)) sprowadza się do znalezienia zbioru wartości g(x) I tak można to znajdywać, czyli tak jak to właściwie robiłeś, ale trzeba to robić z głową −∞<x+2<∞ 0<1/(x+2)<0 co to niby znaczy? tak nie można

the foxi: okej, drugi przykład rozumiem już w pełni ostatni też jasny, o ile rozumiem, to funkcja wykładnicza przyjmuje wartości większe od zera, ale ze względu na to, że wykładnik przyjmuje każdą wartość rzeczywistą różną od zera, to cała funkcja wykładnicza przyjmuje każdą wartość większą od zera z wyjątkiem 2⁰=1, czyli 2^g(x)∊(0;+∞)\{1} potem przesunięcie o −5 jednostek w dół, ale to banał leciałem wszystko jednym sposobem, ale widzę, że to nie zawsze ma sens zrozumiane w 100%, wielkie dzięki!