Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC oraz oblicz promień AsiaS: Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC oraz oblicz promień tego okręgu. A=(−4,4) B=(0,0) C=(8,8) Robiąc symetralne boków, uzyskuję środek okręgu o współrzędnej (2,6)−punkt D. Promień wtedy wynosi: √(2+4)²+(6−4)²=2√10 Jednak ja chciałabym znaleźć ten promień i środek wyłącznie obliczeniami i tu zaczął się problem. 1 próba. Obliczenie pola, by skorzystać później z zależności P=^r(a+b+c)₂ |AB|=√(0+4)²+(0−4)²=4√2 |BC|=√(8−0)²+(8−0)²=8√2 |AC|=√(8+4)²+(8−4)²=4√10 P=^4√2*8√2₂=32 To obliczenie ma sens tylko w przypadku trójkąta prostokątnego, a zawsze może się trafić jakikolwiek inny. 2 próba. Wyznaczenie równania prostej AB, by później ze wzoru na odległość prostej od punktu wyznaczyć wysokość trójkąta y=ax+b

⎧	−4a+b=4
⎩	0+b=0

b=0, więc a=−1 prosta AB: y=−x −> −x−y+0=0 ^{|−1*8+1*8+0|}_{√−1²−1²} h= 8√2 32=^{r(4√2+8√2+4√10)}₂ /2 64=r(12√2+4√10 /(12√2+4√10) r=⁶⁴_(12√2+4√10)←4√10 w mianowniku r=^{64(12√2−4p{10}_(12√2+(4√10)(12√2−4√10)←również w mianowniku r=^{768√2−256√10}₁₂₈ r=6√2−2√10 I tu promień wyszedł inny.. Nie mam pojęcia jak to poprawnie obliczyć. Wiem także że można skorzystać z ciekawego wzoru z macierzy na obliczenie pola trójkąta ze współrzędnych, lecz nie wiem jak go używać. Nie wiem także jak obliczyć współrzędne takiego promienia.

Tadeusz: jak już zauważysz, że to trójkąt prostokątny ... to wszystko będzie prostsze

AsiaS: Wiem o tym, ale zależy mi też na tym, bym zrozumiała ten typ zadań dla każdego trójkąta oraz gdzie popełniłam błąd, że promienie liczone dwoma sposobami się różnią

Tadeusz: RÓŻNIĆ SIĘ NIJAK NIE MOGĄ ! Szukaj błędu

Mila: W (1) próbie zastosowałaś wzór na pole trójkąta z wykorzystaniem promienia okręgu wpisanego w trójkąt. Wg Twojej koncepcji należało wykorzystać taki wzór:

	a*b*c
PΔ=		, gdzie R− promień okręgu opisanego na Δ
	4R

	4√2*8√2*4√2
32=
	4R

stąd

	1
R=2√10=		|AC|
	2

2) Przypadek− Δ nie jest prostokątny Pole trójkąta ΔABC A=(−4,4) ,B=(0,0), C=(8,8) BC^→=[8,8] BA^→=[−4,4] Wyznacznik: W=8*4−(−4)*8=64

	1
P=		|W|=32
	2

	a*b*c
32=
	4R

II sposób Symetralne dwóch boków trójkąta. a) Sym . boku AB P(x,y)− dowolny punkt symetralnej jest jednakowo odległy od końców odcinka (x+4)²+(y−4)²=x²+y²⇔ y=x+4 b) sym boku BC x²+y²=(x−8)²+(y−8)² y=8−x c) Punkt przecięcia S x+4=8−x 2x=4 x=2 y=6 S=(2,6) 4) R=|BS|=√2²+6²=√40=2√10 =======================

AsiaS: Dziękuję bardzo! Teraz już rozumiem

Mila: To mnie cieszy.

Eta: 3 sposób: prosta BC : y=x prosta BC : y= −x więc są prostopadłe zatem |<ABC|=90^o

	xA+xC		yA+yC
to środek S (		,		)= (2,6)
	2		2

	1
R=		|AC|= |BS|=√22+62= 2√10
	2

i po zawodach

Mila: Witaj Eto, pisałam sposób dla trójkąta, który nie jest prostokątny, bo tak chciała Asia. Jak Twoje zdrowie?

Eta: Witaj Milu

synek: W przypadku ogólnym: A(−4, 4), B(0, 0), C(8, 8) Równanie okręgu: x² + y² − 2ax − 2by + c = 0, S = (a, b) to środek okręgu A: 16 + 16 + 8a − 8b + c = 0 /:8 B: 0 + 0 + 0 + 0 + c = 0, c = 0 C: 64 + 64 − 16a − 16b + c = 0/:16 a − b = −4 i −a − b = −8 stąd a = 2 i b = 6 Długość promienia r = √a² + b² − c = √4 + 36 − 0 = 2√10