Teoria mnogości - udowodnij równość relacji. kuapouchy: TEORIA MNOGOŚCI − RELACJE Czy dla dowolnych relacji r i s zachodzi równość: 1) s◦r = r⁻¹ ◦ s⁻¹ 2) s◦r = s⁻¹ ◦ r⁻¹ czy obie? Wszystkie odpowiedzi proszę uzasadnić. Bardzo proszę o pomoc, totalnie zgłupiałam jeśli chodzi o zawieranie się relacji.

Adamm: x R⁻¹ ○ S⁻¹ z ⇔ istnieje y dla którego x R⁻¹ y S⁻¹ z t. j. z S y R x ⇔ z S ○ R x ⇔ x (S ○ R)⁻¹ z więc (S ○ R)⁻¹ = R⁻¹ ○ S⁻¹ nie wiem czy o to chodziło

kuapouchy: No właśnie nie o to, to rozumiem. Chodzi o przykłady jak powyżej, gdzie z jednej strony zupełnie nie ma ⁻1.

Adamm: no to w takim razie, na oko widać że równości są fałszywe, trzeba dobrać odpowiednie kontrprzykłady takich relacji

Adamm: Niech S to relacja < A R niech to będzie relacja = x S ○ R z ⇔ istnieje taki y że x<y i y=z ⇔ x<z x R⁻¹ ○ S⁻¹ z ⇔ istnieje taki y że x>y i y=z ⇔ x>z x S⁻¹ ○ R⁻¹ z ⇔ istnieje taki y że x=y i y>z ⇔ x>z

Adamm: odwrotnie z R⁻¹ ○ S⁻¹ i S⁻¹ ○ R⁻¹

kuapouchy: Mogę jeszcze zapytać jakim kontrprzykładem najłatwiej udowodnić, że: (S ○ R)⁻¹ = S⁻¹ ○ R⁻¹ nie jest prawdą?

Adamm: R⁻¹ ○ S⁻¹ = (S ○ R)⁻¹ jak powiedziane zostało wcześniej gdyby to było prawdą, to złożenie relacji musiałoby być przemienne

kuapouchy: Więc jeśli ktoś wymaga konkretnego dowodu na to, że owe równanie nie jest prawdziwe, wystarczy podać kontrprzykład, gdzie wykażę brak przemienności złożenia relacji?

Adamm: w takim razie dodaj te kilka kroków (S ○ R)⁻¹ = S⁻¹ ○ R⁻¹ (S ○ R)⁻¹ = (R ○ S)⁻¹ S ○ R = R ○ S tak