dyskretna Gosia: 1. na ile sposobow mozna rozdac 30 cukierkow 10 osobom tak, aby osoby a i b dostaly razem 10 cukierkow ? 2.jaki moze byc najwiekszy NWD(2m+3,m+2) 3.jakie sa dwie ostatnie cyfry liczby 99 do potegi 123 odjac 51 do potegi 263 4. rozwiaz rekurencje : a(1)=2, a(2)=1, a(n+2)=4a(n+1)−4a(n)

Mila: 4) a₁=2 a₂=1 a_n+2=4a_n+1−4a_n Równanie charakterystyczne: x²−4x+4=0 (x−2)²=0 x=2 pierwiastek podwójny a_n=A*2ⁿ+B*n*2ⁿ a₁=2=2A+2B a₂=1=4A+8B

	7
A=
	4

	3
B=−
	4

	7		3
an=		*2n−		*n*2n
	4		4

	1
an=		*2n*(7−3n)
	4

spr.

	1
a1=		*2*(7−3)=2
	4

	1
a2=		*22*(7−6)=1
	4

===============

PW: Pytanie do zadania 1. − Dla pozostałych 8 osób zostaje 20 cukierków. Każda osoba ma dostać co najmniej 1 cukierek, czy mogą być osoby, które nic nie dostaną?

Adamm: 3. 99¹²³−51²⁶³ 99¹²³−51²⁶³ ≡ (−1)¹²³−(−1)²⁶³ = −1−(−1) = 0 mod 4 99¹²³−51²⁶³ ≡ (−1)¹²³−1²⁶³ = −1−1 = −2 ≡ 23 mod 25 99¹²³−51²⁶³ ≡ x mod 100 gdzie x może być jednym z 23, 48, 73, 98 ale x ≡ 0 mod 4 więc musi to być 48 no i to są nasze dwie ostatnie cyfry, 4 i 8

Mila: 3) 99¹²³=(100−1)¹²³=

	123 1		123 122
=100123−		*100122*1+ ... ......+		*100−1

wszystkie składniki oprócz ostatniego są podzielne przez 100 ( dwie ostatnie cyfry...00) po odjęciu jedynki dwie ostatnie cyfry to 99 99¹²³=99(mod100) ============== albo tak: 99²=9801=1(mod100) 99¹²³=99¹²²*99=(99²)⁶¹*99 99¹²³=1*99(mod100)=99(mod100) 51²=2601=1(mod100) 51²⁶³=51²⁶²*51=(51²)¹³¹*51 51²⁶³=1*51(mod100)=51 99−51=48 − dwie ostatnie cyfry liczby : 99¹²³−51²⁶³

Mila: Oj , nie widziałam Twojego wpisu Adamie, to zobacz czy nie mam błędu

Adamm: Żadnego nie widzę, raczej nie ma błędu Pozdrawiam

Mila: Też pozdrawiam

Blee: 2) NWD(2m +3, m+2) = NWD(2m+3 −(m+2), m+2) = NWD(m+1, m+2) = NWD(m+1, 1) =1