jawny wzór na n-ty wyraz ciągu karol: Dany jest ciąg rekurencyjny (a_n) w którym a₀ = 1, a₁ = 3 i a_n = 10a_n−1 − 21a_n−2 + 144n dla n ≥ 2. Wyznaczyć jawny wzór na n−ty wyraz ciągu.

xyza: wyglada na matematyke dyskretna

karol: zgadza się

Adamm: A(x) = ∑_n=0 a_nxⁿ = a₀+a₁x+∑_n=0 a_n+2xⁿ⁺² = = a₀+a₁x+∑_n=0 (10a_n+1−21a_n+144(n+2))xⁿ⁺² = = a₀+a₁x+10x∑_n=0a_n+1xⁿ⁺¹−21x²∑_n=0a_nxⁿ+144x²∑_n=0(n+1)xⁿ+ +144x²∑_n=0xⁿ =

	144x2		144x2
= a0+a1x+10x(A(x)−a0)−21x2A(x)+		+
	(1−x)2		1−x

wyznaczasz A(x) i rozwijasz w szereg

Mila: a₀ = 1, a₁ = 3 (*) a_n = 10a_n−1 − 21a_n−2+ 144n II sposób 1) rozwiązanie równania charakterystycznego a_n−10a_n−1+21a_n−2=0 x²−10x+21=0 x=3 lub x=7 2) a_n⁽¹⁾=A*3ⁿ+B*7ⁿ 3) a_n⁽²⁾=Cn+D 4) podstawiamy do (*) Cn+D=10*[C*(n−1)+D]−21*[C*(n−2)+D]+144n 12C*n−32C+12D=144n 12C=144 i −32C+12D=0 C=12 i D=32 a_n⁽²⁾=12n+32 5) Postać ciągu a_n=A*3ⁿ+B*7ⁿ+12n+32 a₀=1=A+B+32 a₁=3=A*3+B*7+12+32 A+B=−31 3A+7B=−41 ========== A=−44, B=13 a_n=−44*3ⁿ+13*7ⁿ+12n+32 =====================

karol: Mam pytanie. W podpunkcie czwartym w pierwszej linijce podstawiasz pod wzór an co rozumiem, ale nie wiem skąd wzięłaś to co się znalazło w linijce drugiej

karol: Dobra już wiem xD

Mila: