Działania na macierzy przekształcenia liniowego Oz: Mam tu pewne zadanie którego nie jestem w stanie w żaden sposób rozwiązać: Niech A_L przedstawia macierz przekształcenia liniowego L w bazie jednostkowej. Wskaż dziedzinę i przeciwdziedziną L. Stosując algorytm eliminacji Gaussa wyznacz bazę Ker L, wymiar Ker L oraz Im L

	⎧	1 2 3 1 3
AL=	⎨	2 3 6 3 5
	⎩	−1 −2 −4 −1 −7

Czy byłby ktoś w stanie mi wytłumaczyć po co mi AEG oraz czym są tutaj dziedzina i przeciwdziedzina?

Adamm: To jest jakaś funkcja z jednej przestrzeni liniowej w drugą, dlatego możemy mówić o jej dziedzinie i przeciwdziedzinie co do eliminacji Gaussa https://math.stackexchange.com/questions/1056478/finding-a-basis-for-kernel-and-image-of-a-linear-transformation-using-gaussian-e

Oz: Z tego co rozumiem należy wyzerować ostatnią kolumnę, jednakże gdy próbuję to zrobić metodą Gaussa, wychodzą mi same ułamki co wydaje mi się nie powinno się zdarzyć.

jc: Dziedzina = R⁵ Przeciwdziedzina = R³ Jądro: a+2b+3c+d+e=0 2a+3b+6c+3d+5e=0 a+2b+4c+d+7e=0 a+2b+3c+d+e=0 −b+d+4e=0 c+6e=0 e = parametr c = −6e d= parametr b=d+4e a=−2b−3c−d−e=−2d−8e+18e−d−e=−3d+9e Inaczej [a] [−3] [9] [b] [0 ] [4] [c] = d [0 ] + e[0] [d] [1] [0] [e] [0] [1] Dwa wektory po literach d, e tworzą przykładową bazę (sprawdź, bo liczyłem na ekranie) Jeśli się nie pomyliłem, to obraz ma wymiar = 3 i dlatego pokrywa się z R³.

jc: ... przykładową bazę jądra.

Oz: Chyba pomyliłeś się przy przepisywaniu, w pierwszym wierszu jest 1a+2b+3c+1d+3e a nie ...+e, ale poza tym wszystko wydaje się być poprawne i teraz mniej więcej wiem o co chodzi. Dzięki!

jc: Wymiar jądra + wymiar obrazu = wymiar dziedziny. Może się więc zdarzyć, że wymiar obrazu niższy niż wymiar przeciwdziedziny. W takim wypadku patrzysz, jaką podprzestrzeń rozpinają kolumny macierzy.